Direkte Summe von G-Moduln < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Do 19.11.2009 | | Autor: | Plapper |
| Aufgabe | | Seinen V und W G-Moduln. Dann ist auch V [mm] \oplus [/mm] W ein G-Modul. |
Hallo...
Ein G-Modul V ist eine abelsche Gruppe V mit [mm] G\times V\to [/mm] V, [mm] (g,v)\mapsto [/mm] gv. Und dann gelten noch folgende drei Sachen:
i) [mm] g(v_1 [/mm] + [mm] v_2)=gv_1 [/mm] + [mm] gv_2
[/mm]
ii) [mm] (g_1 g_2)v=g_1 (g_2 [/mm] v)
iii) 1v=v
Das gleiche hab ich mir auch für den G-Modul W aufgeschrieben.
Nun muss ich zeigen können, dass die direkte Summe der zwei auch wieder ein G-Modul ist.
Muss ich die Komponenten jetzt addieren?
Mein Ansatz wäre folgender:
i) [mm] g((v_1+w_1)+(v_2 +w_2)) [/mm] = [mm] g(v_1+w_1)+g(v_2+w_2) [/mm] nach der Definition.
Und die kann ich ja nochmal anwenden, weil [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] sind ja Elemente aus dem G-Modul W.
Also [mm] g(v_1+w_1)+g(v_2+w_2)=g(v_1)+g(w_1)+g(v_2)+g(w_2), [/mm] wobei ich die Klammern auch weglassen darf.
Ist das der richtige Ansatz?
Danke für eure Hilfe!
PS.: Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 19.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> i) [mm]g((v_1+w_1)+(v_2 +w_2))[/mm] = [mm]g(v_1+w_1)+g(v_2+w_2)[/mm] nach
Das macht überhaupt keinen Sinn. Was soll v+w sein, wenn [mm] v\in [/mm] V und [mm] w\in [/mm] W? [mm] $V\oplus [/mm] W$ ist definiert als als [mm] V\times [/mm] W, mit einer besonders einfachen G-Modulstruktur: [mm] $g\cdot(v,w):=(gv,gw)$. [/mm] Jetzt zeige, dass dies auch wirklich eine G-Modulstruktur definiert. Nur so nebenbei: Was ist bei euch G? Eine Gruppe?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Do 19.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Danke für deine Antwort!
Ja, G ist hier eine Gruppe.
Es macht mir Schwierigkeiten, jetzt diese drei Merkmale nachzurechnen.
Kannst du mir den Anstoß zum ersten Punkt geben? Wie bringe ich denn da das + rein?
[mm] g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))?
[/mm]
Danke und Gruß
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Do 19.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Es macht mir Schwierigkeiten, jetzt diese drei Merkmale
> nachzurechnen.
> Kannst du mir den Anstoß zum ersten Punkt geben? Wie
> bringe ich denn da das + rein?
> [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))?[/mm]
Die richtige Frage wäre, was eigentlich [mm] $(v_1,w_1)+(v_2,w_2)$ [/mm] bedeuten soll, das hab ich nämlich ganz unterschlagen. Das ist definiert als [mm] $(v_1+v_2,w_1+w_2)$ [/mm] (mit der Addition in V bzw W).
Diese Konstruktion nennt man übrigens das (aüßere) direkte Produkt der (abelschen) Gruppen V und W. Man müsste jetzt evtl. zeigen dass [mm] $V\oplus [/mm] W$ auf diese Weise überhaupt wieder ne (abelsche) Gruppe ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Hallo!
Also damit kann ich es jetzt weiter umformen:
[mm] g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2)), [/mm] weil gilt g(v,w):=(gv,gw)
Jetzt weiter umgeformt:
[mm] (g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)
[/mm]
Und nun?
Ich möchte am Ende doch dastehen haben:
[mm] g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2) [/mm] Oder?
Wenn ich die Eigenschaften für einen G-Modul nachweise, dann hab ich doch auch gezeigt, dass die direkte Summe wieder abelsch ist. Ein G-Modul ist doch als abelsche Gruppe definiert!?
Danke für deine Hilfe!
Gruß, Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Sa 21.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2)),[/mm]
> weil gilt g(v,w):=(gv,gw)
> Jetzt weiter umgeformt:
> [mm](g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)[/mm]
> Und nun?
> Ich möchte am Ende doch dastehen haben:
> [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2)[/mm] Oder?
Ja Richtig, rechne einfach noch ein bischen weiter
> Wenn ich die Eigenschaften für einen G-Modul nachweise,
> dann hab ich doch auch gezeigt, dass die direkte Summe
> wieder abelsch ist. Ein G-Modul ist doch als abelsche
> Gruppe definiert!?
Ja, ein G-Modul ist immer eine abelsche Gruppe, per Definition. Aber was du oben machst ist bisher lediglich das Prüfen der "Rechenregeln" für die Wirkung von G auf die Gruppe [mm] $V\oplus [/mm] W$. Dass [mm] $V\oplus [/mm] W$ wieder eine abelsche Gruppe ist, wenn V und W es waren, ist eigentlich so trivial, dass man das glaub ich auch einfach einmal erwähnen kann und gut is... ob dein Korrektor das auch so sieht weiß ich aber nicht.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Plapper |
> [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2)),[/mm]
> > weil gilt g(v,w):=(gv,gw)
> > Jetzt weiter umgeformt:
> > [mm](g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)[/mm]
> > Und nun?
Ich würde hier so weitermachen:
[mm] (gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)=(gv_1+gv_2)+(gw_1+gw_2)
[/mm]
[mm] =g(v_1+v_2+w_1+w_2)
[/mm]
[mm] =g(v_1+w_1+v_2+w_2), [/mm] weil V und W abelsch
[mm] =g(v_1+w_1)+g(v_2+w_2)
[/mm]
Und hier hakt es nun schon wieder! Was mach ich denn falsch?
> > Ich möchte am Ende doch dastehen haben:
> > [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2)[/mm] Oder?
Wenn ich mit der rechten Seite anfangen würde, dann hätte ich das Ergebnis doch eigentlich gleich dastehen, oder?
Weil wenn ich mir die Definition von Modul anschaue, dann heißt es doch im ersten Punkt für M Modul und [mm] m_1,m_2 \in [/mm] M:
[mm] g(m_1+m_2)=gm_1+gm_2
[/mm]
Also wenn ich mir die rechte Seite der obigen Gleichung anschaue und für [mm] m_1 [/mm] den Ausdruck [mm] (v_1,w_1) [/mm] nehme und analog für [mm] m_2 [/mm] die Klammer [mm] (v_2,w_2), [/mm] dann kann ich doch das g direkt rausnehmen, oder?
Gruß
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:39 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Plapper!
> > > [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2)),[/mm]
> > > weil gilt g(v,w):=(gv,gw)
> > > Jetzt weiter umgeformt:
> > > [mm](g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)[/mm]
> > > Und nun?
>
> Ich würde hier so weitermachen:
> [mm](gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)=(gv_1+gv_2)+(gw_1+gw_2)[/mm]
Das ist schonmal Quark. Was bitteschoen soll das auf der rechten Seite sein, und vor allem: wo drinnen soll das liegen?!
> [mm]=g(v_1+v_2+w_1+w_2)[/mm]
Das macht auch keinen Sinn. [mm] $v_1, v_2$ [/mm] sind Elemente aus $V$, [mm] $w_1, w_2$ [/mm] sind Elemente aus $W$. Wie willst du jetzt Elemente aus $V$ mit Elementen aus $W$ addieren?
Versuch es nochmal anders. Hier brauchst du uebrigens, dass $V$ und $W$ $G$-Moduln sind.
> > > Ich möchte am Ende doch dastehen haben:
> > > [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2)[/mm] Oder?
> Wenn ich mit der rechten Seite anfangen würde, dann
> hätte ich das Ergebnis doch eigentlich gleich dastehen,
> oder?
> Weil wenn ich mir die Definition von Modul anschaue, dann
> heißt es doch im ersten Punkt für M Modul und [mm]m_1,m_2 \in[/mm]
> M:
> [mm]g(m_1+m_2)=gm_1+gm_2[/mm]
> Also wenn ich mir die rechte Seite der obigen Gleichung
> anschaue und für [mm]m_1[/mm] den Ausdruck [mm](v_1,w_1)[/mm] nehme und
> analog für [mm]m_2[/mm] die Klammer [mm](v_2,w_2),[/mm] dann kann ich doch
> das g direkt rausnehmen, oder?
Du willst also benutzen, dass $V [mm] \times [/mm] W$ ein $G$-Modul ist? Und zwar um zu zeigen dass es ein $G$-Modul ist? Das macht keinen Sinn.
Du darfst erstmal nur benutzen, dass $V$ und $W$ $G$-Moduln sind.
Ich mach dir mal einen Schritt weiter: [mm](g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2) = (g v_1, g w_1) + (g v_2, g w_2)[/mm]. Jetzt musst du aber wirklich alleine weitermachen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 22.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Hallo...
Danke, dass du dich meiner annimmst!
Also die korrekte Umformung lautet jetzt:
[mm] g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)
[/mm]
[mm] =(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))
[/mm]
[mm] =(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))
[/mm]
[mm] =(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)
[/mm]
[mm] =(gv_1, gw_1) [/mm] + [mm] (gv_2, gw_2)
[/mm]
[mm] =g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2)
[/mm]
Gut, damit wäre das überstanden!!! Vielen Dank!
Allerdings war das ja erst das erste Merkmal:
ii) zz.: [mm] (g_1g_2)(v,w)=g_1(g_2(v,w))
[/mm]
Also: [mm] g_1(g_2(v,w))=g_1(g_2v,g_2w)
[/mm]
[mm] =(g_1(g_2v),g_1(g_2w)
[/mm]
[mm] =((g_1g_2)v,(g_1g_2)w)
[/mm]
[mm] =(g_1g_2)(v,w)
[/mm]
Stimmt das?
UNd nun noch Nummer drei!
zz.: [mm] 1_G(v,w)=(v,w)
[/mm]
Also: [mm] 1_G(v,w)=(1_Gv,1_Gw)=(v,w)
[/mm]
Beim zweiten Gleichheitszeichen habe ich angewendet, dass ein G-Modul eine abelsche Gruppe ist und in der Gruppe gilt ja: e*a=a
Stimmt das nun soweit?
Gruß
Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Plapper!
> Also die korrekte Umformung lautet jetzt:
> [mm]g((v_1,w_1)+(v_2,w_2))=g(v_1+v_2,w_1+w_2)[/mm]
> [mm]=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))[/mm]
> [mm]=(g(v_1+v_2),g(w_1+w_2))[/mm]
> [mm]=(gv_1+gv_2,gw_1+gw_2)[/mm]
> [mm]=(gv_1, gw_1)[/mm] + [mm](gv_2, gw_2)[/mm]
> [mm]=g(v_1,w_1)+g(v_2,w_2)[/mm]
> Gut, damit wäre das überstanden!!! Vielen Dank!
Bitte :)
> Allerdings war das ja erst das erste Merkmal:
> ii) zz.: [mm](g_1g_2)(v,w)=g_1(g_2(v,w))[/mm]
> Also: [mm]g_1(g_2(v,w))=g_1(g_2v,g_2w)[/mm]
> [mm]=(g_1(g_2v),g_1(g_2w)[/mm]
> [mm]=((g_1g_2)v,(g_1g_2)w)[/mm]
> [mm]=(g_1g_2)(v,w)[/mm]
> Stimmt das?
Ja.
> UNd nun noch Nummer drei!
> zz.: [mm]1_G(v,w)=(v,w)[/mm]
> Also: [mm]1_G(v,w)=(1_Gv,1_Gw)=(v,w)[/mm]
Soweit so gut, aber:
> Beim zweiten Gleichheitszeichen habe ich angewendet, dass
> ein G-Modul eine abelsche Gruppe ist und in der Gruppe gilt
> ja: e*a=a
Nein, du hast hier verwendet, dass $V$ und $W$ $G$-Moduln sind, in enen gilt [mm] $1_G [/mm] v = v$ bzw. [mm] $1_G [/mm] w = w$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Plapper |
Vielen Dank für dein Durchhaltevermögen!!! Ich habe alles verstanden!!!
Gruß, Plapper
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