Direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Fr 23.12.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 1. Was ist die direkte Summe zweier Untervektorräume?
2. Wie bilde ich die direkte Summe zweier Untervektorräume? |
Moin, moin!
Ich würde gerne klären, ob ich das richtig verstanden habe...
1. Was ist die direkte Summe zwiwe Untervektorräume?
Sei V ein K-Vektorraum und [mm] U_1, U_2 \subset [/mm] V seien zwei Untervektorräume. Die Summe von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] ist der von den Elementen von [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] aufgespannte Untervektorraum von V. Es gilt also U := [mm] U_1 +U_2 :=
Heisst das, es wird hier die Skalarprodukte der Elemente von [mm] U_1 [/mm] mit den Elementen von [mm] U_2 [/mm] gebildet???
Wenn nun [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] = {0}, d.h. dass die Schnittmenge nur den Nullvektor enthält, dann ist die Summe U = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] eine direkte Summe. Um dies von der „normalen“ Summe zu unterscheiden, schreiben wir U = [mm] U_1 \oplus U_2. [/mm]
2. Wie bilde ich die direkte Summe zweier Untervektorräume?
a) Prüfen, ob die Schnittmenge nur den Nullvektor enthält
b) die Vereinigungsmenge bilden oder muss ich anders vorgehen???
Danke & Gruß & Frohe Weihnachten
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> 1. Was ist die direkte Summe zweier Untervektorräume?
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> 2. Wie bilde ich die direkte Summe zweier
> Untervektorräume?
> Moin, moin!
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> Ich würde gerne klären, ob ich das richtig verstanden
> habe...
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> 1. Was ist die direkte Summe zwiwe Untervektorräume?
> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]U_1, U_2 \subset[/mm] V seien zwei
> Untervektorräume. Die Summe von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ist der von
> den Elementen von [mm]U_1 \cup U_2[/mm] aufgespannte
> Untervektorraum von V. Es gilt also U := [mm]U_1 +U_2 :=
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> Heisst das, es wird hier die Skalarprodukte der Elemente
> von [mm]U_1[/mm] mit den Elementen von [mm]U_2[/mm] gebildet???
Nein. Die Vektoren werden nur addiert. Die Schreibweise mit den Kleiner-Größer-Klamern ist unglückglich gewählt. Damit soll angedeutet werden, dass aus den beiden Mengen die Summanden gebildet werden.
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> Wenn nun [mm]U_1 \cap U_2[/mm] = {0}, d.h. dass die Schnittmenge nur
> den Nullvektor enthält, dann ist die Summe U = [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm]
> eine direkte Summe. Um dies von der „normalen“ Summe zu
> unterscheiden, schreiben wir U = [mm]U_1 \oplus U_2.[/mm]
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> 2. Wie bilde ich die direkte Summe zweier
> Untervektorräume?
> a) Prüfen, ob die Schnittmenge nur den Nullvektor
> enthält
ja
> b) die Vereinigungsmenge bilden oder muss ich anders
> vorgehen???
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NEIN. Du bildet die Menge aller möglichen Summen.
Beispiel:
U = {(a,a,2a), a [mm] \in \IR [/mm] } dim=1
V = {(x,0,y), x und y [mm] \in \IR [/mm] } dim=2
W = {(b,0,b), a [mm] \in \IR [/mm] } dim=1
Wenn v [mm] \in [/mm] U und V sein soll, muss a wegen der mittleren Komponente 0 sein und damit der ganze Vektor, weil er in U liegt. Das selbe gilt für U und W.
V und W haben aber z.B. das Element [mm] (1,0,1)\not= [/mm] 0 gemeinsam.
Somit kann U mit V und W jeweils eine direkte Summe bilden, V und W miteinander aber nicht.
[mm] U\oplus [/mm] V={(a+x,a,2a+y) mit a,x,y [mm] \in \IR }=\IR^3, [/mm] dim=1+2=3
[mm] U\oplus [/mm] W={(a+b,a,2a+b) mit a,b [mm] \in \IR [/mm] }={(x,y,x+y) mit x,y [mm] \in \IR [/mm] }. dim=1+1=2
Jeder Summenvektor lässt sich dabei eindeutig(!) wieder in die beiden Ausgangssummanden zurückzerlegen, die Dimensionen summieren sich ebenfalls.
Die entsprechende Summe aus V und W ergäbe nur einen zweidimensionalen Vektorraum ( in der Mitte steht immer 0), die Zerlegung wäre auch nicht eindeutig, z.B.
(3,0 5)=(2,0,4)+(1,0,1,)=(1,0,3)+(2,0,2)=...
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