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Dirac-Funktion Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 So 22.11.2009
Autor: Zweiti

Aufgabe
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx} [/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{5}{cos x \delta (x-\pi)dx} [/mm]
c) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x+3) \delta (x+2)dx} [/mm]
d) [mm] \integral_{-\infty}^{a}{\delta (x-b)dx} [/mm]

Hallo,

ich habe versucht die Eigenschaft [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a) [/mm] der [mm] \delta-Fkt. [/mm] zu benutzen.
Dafür hab ich dann bei Aufgabe a) geschaut, wann die [mm] \delta-Fkt. [/mm] ungleich Null ist, das wäre für x=3 der Fall. Jetzt hab ich das eingesetzt und erhalte:
[mm] \integral_{2}^{6}{20 \delta (0)dx}. [/mm] Ist das jetzt gleich 20? Oder muss man die Integrationsgrenzen noch beachten?

Danke und Grüße,
Zweiti

Hab diese Frage nur in diesem Forum gestellt.

        
Bezug
Dirac-Funktion Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 22.11.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Berechnen Sie die folgenden Integrale:
>  a) [mm]\integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx}[/mm]
>  b)
> [mm]\integral_{0}^{5}{cos x \delta (x-\pi)dx}[/mm]
>  c)
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{ln(x+3) \delta (x+2)dx}[/mm]
>  d)
> [mm]\integral_{-\infty}^{a}{\delta (x-b)dx}[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe versucht die Eigenschaft
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a)[/mm] der
> [mm]\delta-Fkt.[/mm] zu benutzen.
>  Dafür hab ich dann bei Aufgabe a) geschaut, wann die
> [mm]\delta-Fkt.[/mm] ungleich Null ist, das wäre für x=3 der Fall.

Das ist nicht ganz richtig. [mm] $\delta$ [/mm] ist keine Funktion, sondern eine Distribution (verallgemeinerte Funktion). Die Eigenschaft

(*) [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a)[/mm]

ist die einzige, die relevant ist; wäre es eine Funktion, die nur an einem Punkt [mm] $\not=0$ [/mm] ist, so wäre das Integral 0.

> Jetzt hab ich das eingesetzt und erhalte:
>  [mm]\integral_{2}^{6}{20 \delta (0)dx}.[/mm] I

Was meinst du mit eingesetzt? [mm] $\delta(0)$ [/mm] ist kein sinnvoller Ausdruck.

Ich vermute, du meinst

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x)\delta (x-a)dx}=f(a) = \integral_{-\infty}^{\infty}{f(a)\delta (x-a)dx}[/mm],

> Ist das jetzt gleich 20? Oder muss man die Integrationsgrenzen noch beachten?

Du musst auf jeden Fall die Integrationsgrenzen beachten! Die Gleichung (*) gilt nicht ohne Grund für das Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$. [/mm]

Du behilfst dir mit folgendem Trick: Schreibe das Integral von [mm] $x_1$ [/mm] bis [mm] $x_2$ [/mm] um in ein Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$, [/mm] indem folgende Funktion hinzunimmst:

[mm] g_{x_1,x_2}(x) := \begin{cases} 0, & x x_2 \end{cases} [/mm]

Damit ist

[mm] \integral_{x_1}^{x_2} f(x) \delta(x-a) dx = \integral_{-\infty}^{\infty} f(x) g_{x_1,x_2}(x) \delta(x-a) dx = f(a) g_{x_1,x_2}(a) [/mm].

Da [mm] $g_{x_1,x_2}(a) [/mm] = 0$ für [mm] $x_1>a$ [/mm] und [mm] $x_2
[mm] \integral_{2}^{6}{(3x^2-2x-1) \delta (x-3)dx} = \integral_{2}^{6}{20 \delta (x-3)dx} [/mm]

In deinem Fall liegt der Punkt $a=3$ zwischen [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=6$, [/mm] sodass tatsächlich $20$ herauskommt.

Für die anderen drei Teilaufgaben musst du das auch wieder prüfen.

Viele Grüße
   Rainer

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