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| Aufgabe | Wie viele Lösungen hat die Gleichung:
a) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4 } [/mm] = 10 [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4 } \in \IN
[/mm]
b) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4 } [/mm] = 10 [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4 } \in \IN_{ 0 } [/mm] |
Hallo Leute
Ich habe versucht, die Aufgaben zu lösen.
Ich bin zb bei der a) so vorgegangen: Ich habe alle Lösungsmöglichkeiten untereinander notiert:
1+1+1+7=10
1+1+2+6=10
1+1+3+5=10
1+1+4+4=10
1+2+2+5=10
1+2+3+4=10
1+3+3+3=10
2+2+2+4=10
2+2+4+4=10
Mehr als die gefundenen 9 Möglichkeiten gibt es ja von der Zahlenauswahl her net, da die Summe ja kommutativ ist.
Dann wäre zb ja bei der ersten Zeile:
[mm] x_{1} [/mm] = 1, [mm] x_{2} [/mm] = 1, [mm] x_{3} [/mm] = 1, [mm] x_{4 } [/mm] = 7
Um alle Lösungen zu erhalten müsste man die nun so aufgestellte Anzahl der Lösungen mal 4! nehmen, da ja jede Summenmöglichkeit durch die Kommutativität mit 4! permutieren kann:
=> 9*1*2*3*4 = 216 Möglichkeiten die Summe zu bilden.
Bei der Aufgabe b) kommt eben ja noch die 0 mit rein.
Dann fängt die Möglichkeitenliste so an:
0+0+0+10=10 usw
Nun meine Frage: Ist das so richtig gedacht und gemacht oder gibt es da in irgend einer Form eine Möglichkeit, das ganze mit irgend einer Formel oder einem Verfahren zu berechnen?
Unser Prof steht nämlich voll auf Verfahrensanwendungen, nur habe ich keine Ahnung davon wie so ein verfahren aussieht. Im Script steht auch nichts davon drin.
Danke schonmal 
Beste Grüße, Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 02.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi Matthias!
> Wie viele Lösungen hat die Gleichung:
> a) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4 }[/mm] = 10 [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4 } \in \IN[/mm]
>
> b) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4 }[/mm] = 10 [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4 } \in \IN_{ 0 }[/mm]
>
> Ich habe versucht, die Aufgaben zu lösen.
> Ich bin zb bei der a) so vorgegangen: Ich habe alle
> Lösungsmöglichkeiten untereinander notiert:
> 1+1+1+7=10
> 1+1+2+6=10
> 1+1+3+5=10
> 1+1+4+4=10
> 1+2+2+5=10
> 1+2+3+4=10
> 1+3+3+3=10
> 2+2+2+4=10
> 2+2+4+4=10
Bei der letzten Gleichung hab ich so meine Bedenken, aber das kommt vor, also daß man grobe Anfängerfehler macht, obwohl man es besser wissen müßte.
> Mehr als die gefundenen 9 Möglichkeiten gibt es ja von der
> Zahlenauswahl her net, da die Summe ja kommutativ ist.
>
> Dann wäre zb ja bei der ersten Zeile:
> [mm]x_{1}[/mm] = 1, [mm]x_{2}[/mm] = 1, [mm]x_{3}[/mm] = 1, [mm]x_{4 }[/mm] = 7
>
> Um alle Lösungen zu erhalten müsste man die nun so
> aufgestellte Anzahl der Lösungen mal 4! nehmen, da ja jede
> Summenmöglichkeit durch die Kommutativität mit 4!
> permutieren kann:
Wenn du gerade bei der ersten Lösung herumpermutierst und [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] vertauschst, kriegst du dann eine neue Lösung?
> => 9*1*2*3*4 = 216 Möglichkeiten die Summe zu bilden.
Nee, es ist etwas komplizierter. Da ich aber auch nicht wirklich weiß, was dein Proff hier sehen möchte, lasse ich die Frage mal auf halbbeantwortet.
> Bei der Aufgabe b) kommt eben ja noch die 0 mit rein.
> Dann fängt die Möglichkeitenliste so an:
> 0+0+0+10=10 usw
>
> Nun meine Frage: Ist das so richtig gedacht und gemacht
> oder gibt es da in irgend einer Form eine Möglichkeit, das
> ganze mit irgend einer Formel oder einem Verfahren zu
> berechnen?
> Unser Prof steht nämlich voll auf Verfahrensanwendungen,
> nur habe ich keine Ahnung davon wie so ein verfahren
> aussieht. Im Script steht auch nichts davon drin.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke dir .
Sorry, bei der letzten Möglichkeit habe ich mich vertippt:
Müsste natürlich 2+2+3+3=10 heissen  .
Auch die Permutation von zb 1+1+1+7=10 ist mir klargeworden, dass es keine neue Lösung gibt wenn ich die ersten beiden bzw ersten drei einsen permutieren lasse. Da hab ich gepennt.
Dann müsste das doch für die Permutationsmöglichkeiten der einzelnen Summen diese Formel sein:
p(n; k1, k2,..., km) = [mm] \bruch{n!}{k1!*k2!*...*km!}
[/mm]
dann wär das ja bei der ersten Zeile:
p(4; 3, 1) = [mm] \bruch{4!}{3!*1!} [/mm] = 4 Möglichkeiten, oder?
Meine Frage ist aber vielmehr, ob es ein Verfahren bzw Trick gibt, diese 9 Summenkonstellationen zu berechnen, ohne sie aufzulisten und dann jeweils die p(n; k1, k2,..., km) Formel auf die einzelnen 9 Summenkonstellationen anzuwenden?
Wenn man zb ne diophantische Gleichung mit
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] x_{5} [/mm] + [mm] x_{6} [/mm] + [mm] x_{7} [/mm] = 1000
gegeben hätte würde das denke ich seeeeeeeeeeeeeehr lange dauern, alle Summenkombinationen aufzulisten .
Beste Grüße, Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 So 04.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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