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| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen x,y,z [mm] \in \IZ [/mm] der Gleichung
15x + 10y + 6z = 11. |
Hallo zusammen,
meine Frage zu dieser Aufgabenstellung lautet, ob/wie man auf einem einfachen Weg aus einer bereits gefundenen Lösung [mm] (x_{0},y_{0},z_{0})
[/mm]
alle anderen Lösungen bestimmen kann.
Ich kannte dies bislang nur für Gleichungen mit lediglich 2 Variablen...
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Voraus.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Di 22.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimme alle Lösungen x,y,z [mm]\in \IZ[/mm] der Gleichung
> 15x + 10y + 6z = 11.
> Hallo zusammen,
>
> meine Frage zu dieser Aufgabenstellung lautet, ob/wie man
> auf einem einfachen Weg aus einer bereits gefundenen
> Lösung [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm]
> alle anderen Lösungen bestimmen kann.
> Ich kannte dies bislang nur für Gleichungen mit lediglich
> 2 Variablen...
Hallo,
wenn du eine Lösung [mm](x_{0},y_{0},z_{0})[/mm] hast, dann ist auch [mm](x_{0}+a,y_{0}+b,z_{0}+c)[/mm] eine Lösung genau dann wenn 15a+10b+6c=0 gilt.
Damit das geht, muss a gerade sein, b durch 3 teilbar sein und c durch 5 teilbar sein.
Stellen wir mal nach c um:
[mm] c=-\bruch{15a+10b}{6}
[/mm]
Es muss also gelten 15a+10b [mm] \equiv [/mm] 0 mod 6
Subtraktion von 12a+12b [mm] \equiv [/mm] 0 mod 6 führt auf
3a-2b [mm] \equiv [/mm] 0 mod 6, also 3a [mm] \equiv [/mm] 2b mod 6 bzw. 3a=6n+2b
Wir setzen a=2k (muss ja gerade sein), dann gilt 6k=6n+2b, also b=3(k-n)
Für c gilt dann [mm] c=-\bruch{15a+10b}{6}=-\bruch{30k+10*3(k-n)}{6}=-(10k-5n).
[/mm]
Für beliebige ganze Zahlen k und n ist die allgemeine Lösung also
[mm](x_{0}+2k,y_{0}+3(n-k),z_{0}+5n-10k)[/mm] .
Gruß Abakus
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
> Danke im Voraus.
>
> Gruß Michael
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Abakus,
vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 23.09.2009 | | Autor: | D-C |
Hallo,
bei Gleichungen mit 2 Variablen, kann man ja einfach über den ggT und den Rückwärtsschritt die Lösungen ermitteln..
Hier mit 3 Variablen hätte ich das so gemacht:
Gleichung 15x + 10y + 6z = 11
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist z. Umformung nach z:
6z = 11 - 15x - 10y
11 - 15x - 10y
z = _________________
6
Nun den Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen Koeffizienten und den Rest aufteilen:
z = 1 - 2x - y + [mm] \bruch{5 - 3x - 4y}{6}
[/mm]
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein. Ganzzahligen Teil Substituieren mit a :
a = [mm] \bruch{5 - 3x - 4y}{6}
[/mm]
6a = 5 - 3x - 4y
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist x. Umformen nach x :
3x = 5 - 4y - 6a
x = [mm] \bruch{5 - 4y - 6a}{3}
[/mm]
Nun wieder den Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen Koeffizienten und den Rest aufteilen:
x = 1 - y - 2a + [mm] \bruch{2 - y}{3}
[/mm]
Und auch hier: Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein. Ganzzahligen Teil Substituieren mit b :
b = [mm] \bruch{2 - y}{3}
[/mm]
3b = 2 - y
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist nun y. Umformen nach y :
y = 2 - 3b
Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr . Nun nur noch einsetzen:
x = [mm] \bruch{5 - 4y - 6a}{3} [/mm] = [mm] \bruch{5 - 4*(2 - 3b) - 6a}{3} [/mm] =-1 - 2a + 4b
z = [mm] \bruch{11 - 15x - 10y}{6} [/mm] = [mm] \bruch{11 - 15*(-1 - 2a + 4b) - 10*(2 - 3b)}{6} [/mm] = 1 +5a -5b
Damit hängen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab:
x = -1 - 2a + 4b
y = 2 - 3b
z = 1 + 5a - 5b
Gruß
D-C
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