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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:50 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Es geht um die Gleichung [mm] x^{2}+1=y^{3}.Man [/mm] soll alle ganzen Zahlen angeben, für die diese Gleichung gilt.
Als Tipp war angegeben, dass man Primfaktoren in Z[i] betrachen soll, aber das hilft mir gerade nicht wirklich weiter. Man kann natürlich noch schreiben [mm] (x-i)(x+i)=y^{3},und [/mm] wenn x-i und x+i assoziiert sind, dann kann man daraus auch 3 Terme machen z.B. für x=1: (-i)*(1+i)(1+i) = [mm] y^{3}...aber [/mm] das bringt wohl auch nichts... Hat jemand eine Idee /Tipp für mich ? Würde mich freuen !
Danke!
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:26 So 25.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es geht um die Gleichung [mm]x^{2}+1=y^{3}.Man[/mm] soll alle ganzen
> Zahlen angeben, für die diese Gleichung gilt.
>
> Als Tipp war angegeben, dass man Primfaktoren in Z
> betrachen soll, aber das hilft mir gerade nicht wirklich
> weiter. Man kann natürlich noch schreiben
> [i][mm](x-i)(x+i)=y^{3}[/mm]
Schau dir evtl. mal den ggT von $x - i$ und $x + i$ an. Der ist entweder (bis auf Assoziiertheit) 1 oder 2.
Damit sind $x - i$ und $x + i$, abzueglich eventueller Potenzen von 2 und bis auf Assoziiertheit, jeweils dritte Potenzen.
Vielleicht bringt dich das weiter? Sonst faellt mir grad nichts ein, ist grad etwas spaet... 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 So 25.11.2007 | | Autor: | Fry |
Danke Felix !
Könntest du vielleicht das ganze an einem Beispiel deutlich machen. Weiß gerade nicht, wie du auf die 3te Potenz kommst.
Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Mo 26.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry
> Könntest du vielleicht das ganze an einem Beispiel deutlich
> machen. Weiß gerade nicht, wie du auf die 3te Potenz
> kommst.
Machen wir das mal in [mm] $\IZ$: [/mm] Wenn du weisst, dass $a b = [mm] 6^3$ [/mm] ist, mit $a, b$ teilerfremd, dann haben $a$ und $b$ ja eindeutige Primfaktorzerlegungen. Und du weisst, dass $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3$ ist, also [mm] $6^3 [/mm] = [mm] 2^3 \cdot 3^3$. [/mm] Wenn jetzt $2$ ein Teiler von $a$ ist, dann kann es kein Teiler von $b$ sein, womit [mm] $2^3$ [/mm] ein Teiler von $a$ sein muss. Und $3$ ist dementsprechend auch entweder ein Teiler von $a$, womit dann $a = [mm] \pm 2^3 3^3$ [/mm] und $b = [mm] \pm [/mm] 1$ waere, oder $3$ ist ein Teiler von $b$, womit $a = [mm] \pm 2^3$ [/mm] und $b = [mm] \pm 3^3$ [/mm] waere. Insbesondere sind $a$ und $b$ (bis auf's Vorzeichen, also bis auf Assoziiertheit) ebenfalls dritte Potenzen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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