Dimensionsbegriff < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mo 13.02.2012 | | Autor: | moody |
Hallo,
Ich hab Verständnis Probleme mit dem Dimensionsbegriff.
Wenn ich eine Basis eines Bildes habe, dann ist meine Dimension der Lin. Unabhängigen Basisvektoren bzw Anzahl der Vektoren da sich das mit der lin unabhängigkeit bei einer Basis ja von selbst versteht.
Wie bestimmt man denn z.b. die Dimension einer Abbildung A 5x7, rgA = 3?
Ist dann die Dimension 7?
Und die Dimension vom Kern ist der freiwahlbaren Parameter, also in dem Fall 4. Bei vollem Rang wäre sie dann 0?
Kann ich die Dimension vom.Bild auch bestimmen wenn A nicht explizit gegeben ist und.ich keine Basis vom Bild berechnen kann?
Vielen dank schonmal
Lg. .moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich hab Verständnis Probleme mit dem Dimensionsbegriff.
>
> Wenn ich eine Basis eines Bildes habe, dann ist meine
> Dimension der Lin. Unabhängigen Basisvektoren bzw Anzahl
> der Vektoren da sich das mit der lin unabhängigkeit bei
> einer Basis ja von selbst versteht.
Ich hab Verständnisprobleme mit Deiner Ausdrucksweise ! Obiger Satz ist nicht zu verstehen.
Nimm an, Du hast eine lin. Abb. f:V [mm] \to [/mm] W (V und W Vektorräume). Sei B eine Basis von Bild(f) =f(V).
Dann : Rang(f)= Anzahl der Elemente von B.
> Wie bestimmt man denn z.b. die Dimension einer Abbildung A
> 5x7, rgA = 3?
Du hast also eine 5x7-Matrix A mit Rang 3 ? Hab ich das richtig verstanden ?
> Ist dann die Dimension 7?
Dimension von was ???
Die Dimension des Bildraumes von A = 3
> Und die Dimension vom Kern ist der freiwahlbaren
> Parameter,
Wieder ein Satz ohne jeden Sinn.
> also in dem Fall 4.
Ja
> Bei vollem Rang wäre sie
> dann 0?
Nein.
> Kann ich die Dimension vom.Bild auch bestimmen wenn A nicht
> explizit gegeben ist
Was bedeutet das ?
FRED
> und.ich keine Basis vom Bild berechnen
> kann?
>
> Vielen dank schonmal
>
> Lg. .moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mo 13.02.2012 | | Autor: | moody |
> > Hallo,
> >
> > Ich hab Verständnis Probleme mit dem Dimensionsbegriff.
> >
> > Wenn ich eine Basis eines Bildes habe, dann ist meine
> > Dimension der Lin. Unabhängigen Basisvektoren bzw Anzahl
> > der Vektoren da sich das mit der lin unabhängigkeit bei
> > einer Basis ja von selbst versteht.
>
>
> Ich hab Verständnisprobleme mit Deiner Ausdrucksweise !
> Obiger Satz ist nicht zu verstehen.
> Nimm an, Du hast eine lin. Abb. f:V [mm]\to[/mm] W (V und W
> Vektorräume). Sei B eine Basis von Bild(f) =f(V).
>
> Dann : Rang(f)= Anzahl der Elemente von B.
>
Ist das dann auch gleich der Dimension?
> > Wie bestimmt man denn z.b. die Dimension einer Abbildung A
> > 5x7, rgA = 3?
>
> Du hast also eine 5x7-Matrix A mit Rang 3 ? Hab ich das
> richtig verstanden ?
Ja.
> > Ist dann die Dimension 7?
>
> Dimension von was ???
Von der Matrix, falls es dafür überhaupt eine Dimension gibt.
> Die Dimension des Bildraumes von A = 3
Weil rangA = 3?
> > Und die Dimension vom Kern ist der freiwahlbaren
> > Parameter,
>
> Wieder ein Satz ohne jeden Sinn.
>
>
Sollte heissen dimN (A) ist gleich der Anzahl der freiwählbaren Parameter.
>
> > also in dem Fall 4.
>
> Ja
>
>
>
> > Bei vollem Rang wäre sie
> > dann 0?
>
> Nein.
Sondern?
>
> > Kann ich die Dimension vom.Bild auch bestimmen wenn A nicht
> > explizit gegeben ist
>
> Was bedeutet das ?
>
Ich würde wenn ich für meine Abbildung konkrete Zahlen vorgegeben hätte, eine Basis bestimmen und dann gucken wie viele Vektoren enthalten sind. Aber wenn wie du oben schon gesagt hast, rang A gleich der Dimension des Bildes ist, hat sich das schon geklärt.
lg moody
>
>
> > und.ich keine Basis vom Bild berechnen
> > kann?
> >
> > Vielen dank schonmal
> >
> > Lg. .moody
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > Ich hab Verständnis Probleme mit dem Dimensionsbegriff.
> > >
> > > Wenn ich eine Basis eines Bildes habe, dann ist meine
> > > Dimension der Lin. Unabhängigen Basisvektoren bzw Anzahl
> > > der Vektoren da sich das mit der lin unabhängigkeit bei
> > > einer Basis ja von selbst versteht.
> >
> >
> > Ich hab Verständnisprobleme mit Deiner Ausdrucksweise !
> > Obiger Satz ist nicht zu verstehen.
Hallo,
ja, das ging mir auch so.
>
> > Nimm an, Du hast eine lin. Abb. f:V [mm]\to[/mm] W (V und W
> > Vektorräume). Sei B eine Basis von Bild(f) =f(V).
> >
> > Dann : Rang(f)= Anzahl der Elemente von B.
> >
> Ist das dann auch gleich der Dimension?
Ja, gleich der Dimension des Bildes.
> > > Wie bestimmt man denn z.b. die Dimension einer Abbildung A
> > > 5x7, rgA = 3?
> >
> > Du hast also eine 5x7-Matrix A mit Rang 3 ? Hab ich das
> > richtig verstanden ?
> Ja.
> > > Ist dann die Dimension 7?
> >
> > Dimension von was ???
> Von der Matrix, falls es dafür überhaupt eine Dimension
> gibt.
Matrizen haben keine Dimension. Dimension ist eine Eigenschaft von vektorräumen.
Wenn Du aus einem 7-dimensionalen Raum in einen 5-dimensionalen Raum abbildest, ist die Darstellungsmatrix eine [mm] 5\times [/mm] 7-Matrix, und wenn die Darstellungsmatrix eine [mm] 5\times [/mm] 7-Matrix ist, weißt Du, daß sie eine Abbildung aus einem siebendimensionalen raum in einen 5-dimensionalen Raum beschreibt.
> > Die Dimension des Bildraumes von A = 3
> Weil rangA = 3?
Ja.
> > > Und die Dimension vom Kern ist der freiwahlbaren
> > > Parameter,
> >
> > Wieder ein Satz ohne jeden Sinn.
> >
> >
> Sollte heissen dimN (A) ist gleich der Anzahl der
> freiwählbaren Parameter.
> >
> > > also in dem Fall 4.
> >
> > Ja
> >
> >
> >
> > > Bei vollem Rang wäre sie
> > > dann 0?
> >
> > Nein.
> Sondern?
Guck Dir mal den Satz an, der den Zusammenhang der Dimensionen von Kern und Bild herstellt.
> >
> > > Kann ich die Dimension vom.Bild auch bestimmen wenn A nicht
> > > explizit gegeben ist
> >
>
> > Was bedeutet das ?
> >
> Ich würde wenn ich für meine Abbildung konkrete Zahlen
> vorgegeben hätte, eine Basis bestimmen und dann gucken wie
> viele Vektoren enthalten sind. Aber wenn wie du oben schon
> gesagt hast, rang A gleich der Dimension des Bildes ist,
> hat sich das schon geklärt.
Gut.
LG Angela
>
> lg moody
> >
> >
> > > und.ich keine Basis vom Bild berechnen
> > > kann?
> > >
> > > Vielen dank schonmal
> > >
> > > Lg. .moody
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 14.02.2012 | | Autor: | moody |
> Hallo,
>
> ja, das ging mir auch so.
Hab vom Handy aus gepostet, das ist alles andere als bequem, aber ich hatte keinen Zugang zu einem PC.
> Matrizen haben keine Dimension. Dimension ist eine
> Eigenschaft von vektorräumen.
Eine Matrix ist ja auch nur eine Abbildung, langsam lichtet sich alles :)
> Guck Dir mal den Satz an, der den Zusammenhang der
> Dimensionen von Kern und Bild herstellt.
Wenn ich das jetzt richtig in Erinnerung habe:
$dim(N(A)) + dim(Bild(A)) = n$
$n = Spaltenanzahl$
Wenn ich eine 3x3 Matrix habe mit rg(A) = 3 habe, dann ist doch:
$dim(N(A)) + 3 = 3$
Also dim(N(A)) = 0
Muss ja eigentlich auch so sein wenn die Dimension des Kerns gleich der Anzahl der freiwählbaren Parameter ist.
Um meine Aussage zu spezifizieren, sie gilt nur für quadratische Matrizen weil bei einer 3x4 Matrix mit denselben Eigenschaften
$dim(N(A)) + 3 = 4$
[mm] \rightarrow [/mm] dim(N(A)) = 1 gelten würde.
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 14.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > ja, das ging mir auch so.
> Hab vom Handy aus gepostet, das ist alles andere als
> bequem, aber ich hatte keinen Zugang zu einem PC.
das mag' sein. Dann nimm' Dir halt leider noch mehr Zeit, denn ehrlich gesagt: Ich habe beim Durchlesen Deines Threads noch weniger verstanden, als Fred und Angela erraten haben!
> > Matrizen haben keine Dimension. Dimension ist eine
> > Eigenschaft von vektorräumen.
> Eine Matrix ist ja auch nur eine Abbildung, langsam
> lichtet sich alles :)
Drücke Dich bitte etwas präziser aus. Obigen Satz kann man so hinnehmen, aber genauer: Die Menge der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen [mm] $\IK$-Vektorräumen [/mm] ist isomorph mit der Menge der [mm] $\IK$-wertigen [/mm] Matrizen, die nur endlich viele Spalten und Zeilen haben. Es gibt also quasi eine bijektive Zuordnung zwischen solchen Matrizen und linearen Abbildungen, daher "ist die von Dir angesprochene Identifizierung erlaubt".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Di 14.02.2012 | | Autor: | moody |
> Drücke Dich bitte etwas präziser aus. Obigen Satz kann
> man so hinnehmen, aber genauer: Die Menge der linearen
> Abbildungen zwischen endlichdimensionalen [mm]\IK[/mm]-Vektorräumen
> ist isomorph mit der Menge der [mm]\IK[/mm]-wertigen Matrizen, die
> nur endlich viele Spalten und Zeilen haben. Es gibt also
> quasi eine bijektive Zuordnung zwischen solchen Matrizen
> und linearen Abbildungen, daher "ist die von Dir
> angesprochene Identifizierung erlaubt".
Danke für die detaillierte Erklärung! Aber so sicher bin ich in dem Gebiet noch nicht, wie man an meinen doch recht grundlegenden Fragen erkennt, von daher hätte ich das so nicht ausdrücken können.
Zudem haben wir das in der Vorlesung auch nicht so detailliert behandelt wie du es dargestellt hast (oder ich habe es einfach nicht richtig verstanden)
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mi 15.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Drücke Dich bitte etwas präziser aus. Obigen Satz kann
> > man so hinnehmen, aber genauer: Die Menge der linearen
> > Abbildungen zwischen endlichdimensionalen [mm]\IK[/mm]-Vektorräumen
> > ist isomorph mit der Menge der [mm]\IK[/mm]-wertigen Matrizen, die
> > nur endlich viele Spalten und Zeilen haben. Es gibt also
> > quasi eine bijektive Zuordnung zwischen solchen Matrizen
> > und linearen Abbildungen, daher "ist die von Dir
> > angesprochene Identifizierung erlaubt".
> Danke für die detaillierte Erklärung! Aber so sicher bin
> ich in dem Gebiet noch nicht, wie man an meinen doch recht
> grundlegenden Fragen erkennt, von daher hätte ich das so
> nicht ausdrücken können.
> Zudem haben wir das in der Vorlesung auch nicht so
> detailliert behandelt wie du es dargestellt hast (oder ich
> habe es einfach nicht richtig verstanden)
ich glaube schon, dass Du es verstanden hast. Es ist nur einfach eine schlechte Sprechweise, wenn man sagt, dass (endliche) Matrizen das gleiche sind wie lineare Abbildungen. Wenn ich einen Sack habe mit drei Objekten $a,b,c [mm] \in \text{Sack}$ [/mm] und mir alle Abbildungen [mm] $\IN \to \text{Sack}$ [/mm] anschaue, dann kann ich, weil ich eine Bijektion [mm] $\text{Sack} \to \{1,2,3\}$ [/mm] angeben kann, jede der Abbildungen $f: [mm] \IN \to \text{Sack}$ [/mm] mit einer und nur einer Abbildungen $g: [mm] \IN \to \{1,2,3\}$ [/mm] identifizieren. Wenn [mm] $g\,$ [/mm] nun die zu [mm] $f\,$ [/mm] passende Identifizierung ist, dann sind dennoch [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] eben nicht das gleiche - aber sozusagen "im Wesentlichen das gleiche" - und zwar hier, weil ich die Bijektion (oder deren Umkehrfunktion) [mm] $\text{Sack} \to \{1,2,3\}$ [/mm] "dazunehmen kann".
In Meyberg, Karpfinger "Algebra" steht zu Beginn (Seite 13), im Kapitel über Isomorphismen, Homomorphismen, ganz knapp der eigentliche Sinn von Isomorphismen:
Grob gesagt: "Ein Isomorphismus benennt die Elemente nur um."
So kann man etwa sagen:
Wenn ich
[mm] $$L_{\IK}:=\{f: V \to W, f\;\; \IK-\text{linear und }\dim(V) < \infty \text{ und }\dim(W) < \infty, \;V,W \text{ Vektorräume}\}$$
[/mm]
habe,
und dann zudem
[mm] $$M_{\IK}:=\{A \in \IK^{\dim(S) \times \dim(R)}, \dim(R) <\infty \text{ und }\dim(S) < \infty,\;R,S \text{ VRe}\}\,,$$
[/mm]
so "kann ich jedem Element aus [mm] $L_{\IK}$ [/mm] einen (und nur einen) Namen aus [mm] $M_{\IK}$ [/mm] geben, so dass auch jedes Element aus [mm] $M_{\IK}$ [/mm] genau den Namen eines und nur eines Elements von [mm] $L_{\IK}$ [/mm] trägt."
Bei dieser Identifizierung sei dazugesagt, dass ich für jeden endlichdimensionalen [mm] $\IK$-Vektorraum $X\,$ [/mm] jeweils eine Basis einmal als gewählt, und dann festgehalten, annehme.
Schau' einfach mal etwa in Bosch, lineare Algebra. Der schlägt irgendwie so eine kleine Brücke zwischen "Geometrisch (im Sinne der aus der Schule bekannten analytischen Geometrie) motivieren und abstrakt weiterarbeiten", was Vektorräume, Matrizen, lineare Abbildungen etc. betrifft!
Gruß,
Marcel
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> Eine Matrix ist ja auch nur eine Abbildung, langsam
> lichtet sich alles :)
Hallo,
eine Matrix ist eine Matrix.
Eine Matrix beschreibt eine lineare Abbildung.
>
> > Guck Dir mal den Satz an, der den Zusammenhang der
> > Dimensionen von Kern und Bild herstellt.
> Wenn ich das jetzt richtig in Erinnerung habe:
>
> [mm]dim(N(A)) + dim(Bild(A)) = n[/mm]
> [mm]n = Spaltenanzahl[/mm]
Genau.
> Wenn ich
> eine 3x3 Matrix habe mit rg(A) = 3 habe, dann ist doch:
> [mm]dim(N(A)) + 3 = 3[/mm]
> Also dim(N(A)) = 0
Genau.
Wenn die Dimension des Kerns =0 ist, ist die durch die Matrix beschriebene Abbildung übrigens injektiv,
und wenn der Rang=Anzahl der Zeilen ist, dann ist die Abbildung surjektiv.
> Muss ja eigentlich auch so sein wenn die Dimension des
> Kerns gleich der Anzahl der freiwählbaren Parameter ist.
> Um meine Aussage zu spezifizieren, sie gilt nur für
> quadratische Matrizen weil bei einer 3x4 Matrix mit
> denselben Eigenschaften
> [mm]dim(N(A)) + 3 = 4[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] dim(N(A)) = 1 gelten
> würde.
Der Schluß, daß die Dimension des Herns =1 ist, stimmt.
Ich weiß jetzt gerade nicht, was Du mit "gilt nur für quadratische Matrizen" meinst...
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Do 16.02.2012 | | Autor: | moody |
> Der Schluß, daß die Dimension des Herns =1 ist, stimmt.
> Ich weiß jetzt gerade nicht, was Du mit "gilt nur für
> quadratische Matrizen" meinst...
Ich hatte ja angenommen das für Matrizen mit vollem Rang der Kern immer 0 wäre, aber das gilt ja eben nur für 3x3, 4x4, 5x5 Matrizen.
Bei Matrizen deren Spaltenzahl größer ist, kann ich ja vollen Rang haben, aber dennoch kann mein Kern die Dimension 1 oder 2 haben.
Und auch danke an Marcel
> aber sozusagen "im Wesentlichen das gleiche"
das hat einiges erklärt, man kann es leicht verwechseln wenn es im Prinzip dasselbe ist, aber genau genommen gibt es ja Unterschiede und es ist schon recht gut die zu kennen.
Morgen ist dann der große Tag :)
lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Der Schluß, daß die Dimension des Herns =1 ist, stimmt.
> > Ich weiß jetzt gerade nicht, was Du mit "gilt nur für
> > quadratische Matrizen" meinst...
> Ich hatte ja angenommen das für Matrizen mit vollem Rang
> der Kern immer 0
das ist eine leider auch gepflegte schlechte Sprechweise. Man meint hier mit [mm] $0\,$ [/mm] eigentlich den Nullvektorraum [mm] $\{0_{\IK^n}\}\,$ [/mm] für $A [mm] \in \IK^{m \times n}\,.$ [/mm] Man kann diesen Nullraum auch, wenn man [mm] $A\,$ [/mm] im Sinne einer linearen Abbildung $V [mm] \to [/mm] W$ mit [mm] $\IK$-Vektorräumen $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm] und [mm] $\dim(V)=n$ [/mm] und [mm] $\dim(W)=m$ [/mm] auffasst, mit [mm] $\{0_V\}$ [/mm] identifizieren.
> wäre, aber das gilt ja eben nur für 3x3,
> 4x4, 5x5 Matrizen.
Ja: Denn der Begriff "Vollrang" bezieht sich ja nur auf quadratische Matrizen. Aber wenn eine Matrix eine lineare Abbildung "repräsentiert", so ist ihr Kern genau dann der Nullvektorraum, wenn die Abbildung injektiv ist (im Prinzip ist das nur eine Anwendung des Satzes, den man zwischen Gruppenhomomorphismen kennt: Anstatt etwa [mm] $Kern=\{0_V\}$ [/mm] muss man dann nur [mm] $\{e_G\}$ [/mm] schreiben, wenn die Gruppe [mm] $G\,$ [/mm] der Definitionsbereich des Gruppenhomomorphismus ist und [mm] $e_G$ [/mm] das neutrale Element aus [mm] $G\,$). [/mm]
Somit folgt sofort, dass z.B. bei $m [mm] \times [/mm] n$-Matrizen mit Koeffizienten in [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] sicher der Kern nicht nur der Nullvektorraum sein kann, falls $m < [mm] n\,.$ [/mm]
(Merke also: Hat eine solche Matrix also weniger Zeilen als Spalten, so hat sie stets nichttrivialen Kern! Oder anders gesagt:
Bei "breiten Matrizen [mm] $A\,$" [/mm] ist die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems [mm] $A*x=\mathbm{\red{0}}\,$ [/mm] nichttrivial!)
Denn solch' eine Matrix "repräsentiert" eine lineare Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^m$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC^n \to \IC^m$), [/mm] und wenn diese injektiv wäre, so müßte [mm] $\dim \IK^m=m \ge \dim \IK^n$ ($\IK \in \{\IR,\;\IC\}$) [/mm] sein (lineare Abbildungen bilden, FALLS SIE INJEKTIV SIND, linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Bildvektoren ab - OHNE die INJEKTIVITÄT ist diese Aussage FALSCH!). So kann man sich so etwas grob klarmachen!
> Bei Matrizen deren Spaltenzahl größer ist, kann ich ja
> vollen Rang haben,
Der Begriff "Vollrang" macht doch nur bei quadratischen Matrizen Sinn, oder? Wie habt ihr ihn denn definiert?
> aber dennoch kann mein Kern die
> Dimension 1 oder 2 haben.
Für "breite Matrizen" wird der Kern immer eine Dimension $> [mm] 0\,$ [/mm] haben, s.o., oder beachte auch:
Genaueres steht auch im Dimensionssatz für (endliche) Matrizen bzw. lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen (ich müßte nun nachgucken, ob der auch für unendlich-dim- Vektorräume gilt - aber da wir das eh hier nicht brauchen, ersparen wir es uns).
Das heißt übrigens nicht, dass "schmale Matrizen" stets einen trivialen Kern haben. Dafür findest Du sicher selbst Beispiele (es gibt "naheliegendste": Nimm' die Nullabbildung!).
P.S.:
Im Fall "einfach gewählter Basen" sind die Spaltenvektoren einer Matrix sowas wie ein Erzeugendensystem des Spanns des Bildraums. Wie gesagt: Etwa in Bosch, lineare Algebra, steht genauer, wie das zu verstehen ist (man muß eigentlich mit Koordinatenvektoren arbeiten, dann den [mm] $n\,$-dim. $\IK$-VR. $V\,$ [/mm] mit [mm] $\IK^n$ [/mm] identifizieren etc. pp.) - deswegen erwähne ich extra nochmal, dass das, was ich oben sage, in dieser Sprechweise nur "grob" ausgedrückt wird - man kann und sollte es mathematisch präzisieren!
> Und auch danke an Marcel
> > aber sozusagen "im Wesentlichen das gleiche"
> das hat einiges erklärt, man kann es leicht verwechseln
> wenn es im Prinzip dasselbe ist, aber genau genommen gibt
> es ja Unterschiede und es ist schon recht gut die zu
> kennen.
>
> Morgen ist dann der große Tag :)
Viel Erfolg!!
Gruß,
Marcel
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