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| Aufgabe | Im [mm] \IR^{4} [/mm] definieren wir fünf Vektoren [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} [/mm] durch:
[mm] v_{1}:=\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, v_{2}:=\vektor{-1 \\ -2 \\ -3 \\ 1}, v_{3}:=\vektor{4 \\ -1 \\ -6 \\ 5}, v_{4}:=\vektor{5 \\ 2 \\ 1 \\ 3}, v_{5}:=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -2}.
[/mm]
Seine [mm] U:= [/mm] und [mm] V:=.
[/mm]
Berechnen Sie die Dimension von U, V, U [mm] \cap [/mm] V, U+V, und bestimmen Sie für jeden dieser Vektorräume eine Basis. |
Hallo,
Ich hab mit der genannten Aufgabe so ein kleines Problem.
Bis jetzt habe ich die Basen für U und V bestimmt. In beiden Fällen komm ich auf die Basis [mm] B:={\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}. [/mm] Daraus folgt, dass die Dimension sowohl von U, als auch von V = 4 ist.
Zunächst wäre es super, ob das bis jetzt so stimmt und ich mich nicht total verrannt habe.
Jetzt geht es mit meinen Problemen los.
Wenn ich mich nicht total irre, ist U [mm] \cap [/mm] V eine leere Menge, da es keine gemeinsamen Elemente in den beiden Mengen gibt. Wie stelle ich jetzt dafür eine Basis auf?? Steh total auf'm Schlauch.
Bei der Addition von U und V (U+V) kommen wieder unsere Ausgangsvektoren raus.
So ein Gedanke, den ich diesbezüglich noch hab ist, dass V der Komplementärraum zu U ist, da U+V="Ausgangsvekotren" und [mm] U\capV={0}.
[/mm]
Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
LG Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 12.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Seine [mm]U:=[/mm] und [mm]V:=.[/mm]
>
> Berechnen Sie die Dimension von U, V, U [mm]\cap[/mm] V, U+V, und
> bestimmen Sie für jeden dieser Vektorräume eine Basis.
> Hallo,
> Ich hab mit der genannten Aufgabe so ein kleines Problem.
> Bis jetzt habe ich die Basen für U und V bestimmt. In
> beiden Fällen komm ich auf die Basis [mm]B:={\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}.[/mm]
nein, das kann schon nicht stimmen, denn U kann bei drei Vektoren höchstens die Dimension 3 haben und V höchstens Dimension 2.
schreibe die Vektoren von U mal als Zeilen untereinander in eine 3x4 Matrix und bestimme deren Rang (also wende Gauß darauf an, bis du Zeilenstufenform hast, dann ist die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen die Dimension und diese Zeilen bilden eine Basis)
analog kannst du für V vorgehen.
genauso bei (U+V) - nur eben alle Vektoren von U und V untereinander in eine 5x4 Matrix schreiben...
dann gilt ja noch: dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U [mm] $\cap$ [/mm] V),also:
dim(U [mm] $\cap$ [/mm] V)=dim(U)+dim(V)-dim(U+V)
da kann hier also nur 0, 1 oder 2 rauskommen
so, für eine Basis von (U [mm] $\cap$ [/mm] V) gilt dann:
wenn dimension=0 , dann B={}
wenn dimension=2 , dann [mm] B=B_V [/mm] (eine Basis von V)
wenn dimension=1, dann sieht man höchst wahrscheinlich schon durch scharfes hinsehen einen gemeinsamen vektor...
aber versuch dich mal am rest und schreib deine ergebnisse hier auf, dann kann man auch helfen, wenn bei de rletzten basis noch probleme gibt.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
Danke erst einmal für die schnelle Hilfe.
Ich hab da noch mal eine Frage. Wir haben die Aussage <M> als Menge der Linearkombinationen von M definiert.
Da ich in diesem Fall von Vektoren aus dem [mm] \IR^{4} [/mm] spreche, muss die Dimension doch 4 sein, da ich 4 Vektoren brauche, um die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] - [mm] v_{5} [/mm] als Linearkombination der neuen Basis darzustellen.
Vielleicht hab ich da auch einfach was falsch verstanden, aber klar ist es mir so auf jeden Fall nicht.
LG Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mo 13.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also der [mm] $\IR^4$ [/mm] hat sicher die Dimension 4, aber wenn du einen Unterraum V' davon betrachtest, muss dieser nicht unbedingt genauso groß sein.
Beispiel : $V'=< [mm] \vektor{1\\0\\0\\0} [/mm] >$
dann ist die Menge der Linearkombinationen von V' die Gerade durch den angegebenen Vektor und der Vektor selbst schon eine Basis des UNTERraumes, also ist V' eindimensional.
beachte aber , dass z.B. : $V'=< [mm] \vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{5\\0\\0\\0} [/mm] >$ auch nur eindimensional ist, denn die beiden Vektoren sind ja linear abhängig (liegen beide also schon auf derselben Gerade und nur einer reicht aus um die ganze Gerade zu erzeugen)
Also ein Unterraum kann niemals größer sein als der Raum, aus dem die Vektoren stammen (hier [mm] $\IR^4$), [/mm] aber kann sicher kleiner sein.
Dein Unterraum U hat in der Aufgabe 3 Vektoren, die ihn erzeugen - um festzustellen, ob diese Anzahl schon minimal ist (also eine Basis bilden) musst du noch lineare Unabhängigkeit testen.
(am einfachsten so, wie ich oben shon beschrieben hatte..)
viele Grüße
DaMenge
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Hi.
Danke für die schnelle Hilfe. Ich hab jetzt meinen Denkfehler gefunden.
Nachdem ich nun ein bisschen hin und her gerechnet habe, hab ich festgestellt, dass die Vektoren aus U nicht linear unabhänig sind, sondern dass der 3. Vektor sich als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt. Daraus folgt dann, dass die Basis von U
[mm] B={\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{-1 \\ -2 \\ -3 \\ 1}}. [/mm] Die Dimension von U ist also 2.
Die Vektoren aus V sind linear unabhängig. Somit stellt V die Basis dar. Die Dimension ist also ebenfalls 2.
Für die Addition von U und V stellt man fest, dass die Vektoren voneinander linear abhängig sind. Man sieht, dass sich [mm] v_{5}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ -2} [/mm] als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. [mm] v_{3} [/mm] fällt bei dieser Betrachtung von vornherein raus, da wir schon berechnet haben, dass [mm] v_{3} [/mm] die Linearkombination von [mm] v_{1} [/mm] und [mm] V_{2}.
[/mm]
Die Basis der Addition ist also [mm] b={v_{1}, v_{2}, v_{4}}. [/mm] Daraus folgt, dass die Dimension der Addition =3 ist.
Jetzt hab ich nur noch ein Problem mit dem Durchschnitt der beiden Mengen. Um den zu berechnen, setze ich die beiden Mengen gleich. Dabei hab ich aber ein Problem mit der Berechnung, da ich das mit dem unterbestimmten Gleichungssystem nicht ganz geblickt habe.
Auf Grund der Formel dim(U)+dim(V)=dim(U+V)+dim(U [mm] \cap [/mm] V). Daraus folgt, dass dim(U [mm] \cap [/mm] V)=1 sein muss.
Wäre schön, wenn mir da nochmal jemand helfen könnte.
LG Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mi 15.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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