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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Angenommen ich habe geg.:
dim V = 7 über [mm] \IZ_{3}
[/mm]
U eine 4-dimensionaler Unterraum:
dim |V/U| = 3
Also ist der Faktorraum zugleich auch ein Komplementärraum da 3 +4 = 7 gilt oder? Meine Frage ist nun warum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 05.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Reaper,
das stimmt so nicht ganz...
Also angenommen wir hätten mal eine Basis so gewählt , dass $ [mm] (v_1 [/mm] , ... , [mm] v_7 [/mm] ) $ eine Basis von V ist und davon $ [mm] (v_1 [/mm] , .., [mm] v_4 [/mm] ) $ schon eine Basis von U.
Nennen wir mal W das komplement von U, dann wäre $ [mm] (v_5 [/mm] ,.., [mm] v_7 [/mm] ) $ eine Basis von W.
Was ist jetzt V/U ? wie sehen die Elemente darin uas - und wie sieht eine Basis aus?
Also V/U sind Elemente der Form $ v'=v+U $ wobei man v' dann als Repräsentant der ganzen Menge schreibt.
das heißt eine Basis von V/U wäre $ (v'_5 , v'_6 , v'_7 ) $
wohlgemerkt: dies sind Repräsentanten für eine ganze Menge, nämlich: $ v'_5 = [mm] v_5 [/mm] +U $
also ist V/U nicht gleich W, aber die Elemente von W kann man als Repräsentanten von V/U wählen.
hoffen, es ist nun etwas klarer - wenn nicht, gerne nachfragen.
viele Grüße
DaMenge
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