Dimension von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 02.01.2011 | | Autor: | Selinara |
| Aufgabe | Eine reelle (3x3)-Matrix A heißt magisches Quadrat, wenn es eine Zahl [mm] \alpha [/mm] gibt, so dass jede Zeilensumme, jede Spaltensumme, die Summe der Hauptdiagonalelemente [mm] \summe_{j=1}^{3} a_{jj} [/mm] und die Summe der Nebendiagonalelemente [mm] a_{31} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] + [mm] a_{13} [/mm] von A gleich [mm] \alpha [/mm] sind. Hier ist ein Bsp. für ein magisches Quadrat mit [mm] \alpha [/mm] =6
[mm] \pmat{ 3 & -3 & 6 \\ 5 & 2 & -1 \\ -2 & 7 & 1 }
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass M:= {A [mm] \in [/mm] Mat (3x3, [mm] \IR) [/mm] | A magisches Quadrat} ein Untervektorraum von Mat (3x3, [mm] \IR) [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis und damit die Dimension von M. |
Hey Leute,
meine Frage bezieht sich ausschließlich auf die Aufgabe b).
Kann eine Matrix überhaupt eine Dimension haben? Ich dachte Matrizen haben einen Rang!?
Oder versteh ich die Aufgabenstellung komplett falsch?
Ich denke, ich liege richtig, wenn ich sage, ich brauche 3 Basisvektoren, da ich ja eine 3x3-Matrix habe. Ich kann da also eig. jede bel. Basis verwenden, natürlich mit den Eigenschaften, dass die Vektoren lin. unabh. sind und das ich dann mit diesen Basen ein magisches Quadrat erzeugen kann.
Die Dimension der Basen wäre ja auf alle Fälle 3, oder? Aber ist das dann auch schon die Dimension von M? Wie gesagt, dass verwirrt mich etwas, da Matrizen meiner Meinung nach keine Dimension haben....
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar
Grüßle
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 So 02.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also Mat(3x3, [mm] \IR) [/mm] ist ja z.B. auch ein Vektorraum der Dimension 9. Als Standardbasis hat man hier z.B. die Matrizen, die eine 1 an einer Stelle haben, ansonsten 0. Aber eine einzelne Matrix aus diesem Raum hat natürlich immer einen Rang (der hier 0, 1, 2, 3 sein kann). Also die Dimension bezieht sich immer auf den ganzen Vektorraum und nicht auf eine einzelne Matrix des Vektorraums.
Ja und für die Basis musst du dann schauen, mit welchen Matrizen du jedes magische 3x3-Quadrat linearkombinieren kannst. Und die Anzahl der Basismatrizen ist dann deine Dimension des Vektorraums der magischen 3x3-Quadrate.
|
|
|
|
