Dimension von Liealgebren < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:47 Mi 27.07.2011 | | Autor: | gnasen |
| Aufgabe | | Wieviele halbeinfache Liealgebren der Dimension 8 gibt es (bis auf Isomorphie) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Unser Tutor stellte uns diese Frage nebenbei während eines Tutoriums und irgendwie will sie nicht aus meinem Kopf.
Zunächst denke ich mal, dass er die komplexen halbeinfachen Liealgebren meint (weil wir nur diese klassifiziert haben). Was ich mir bisher gedacht habe:
Es gilt ja:
L komplexe Liealgebra, dg:
L halbeinfach [mm] \gdw [/mm] L = [mm] I_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus I_n [/mm] wobei [mm] I_i [/mm] einfache Ideale von L.
Die klassischen Liealgebren sind ja [mm] sl(n,\IC), so(n,\IC) [/mm] und [mm] sp(n,\IC). [/mm] Aus Dimensionsgründen kommt hier nur [mm] sl(3,\IC) [/mm] mit Dimension 8 in Frage. [mm] sl(2,\IC) [/mm] hat nur Dimension 3, [mm] so(n,\IC) [/mm] und [mm] sp(n,\IC) [/mm] haben mindestens schon dimension 10 (oder sind für kleinere n isomorph zu [mm] sl(n,\IC)).
[/mm]
Nun das Hauptproblem:
Wir haben in der Klassifizierung über die Dynkindiagramme gesehen, dass es noch abstrakte einfache Liealgebren gibt zu den Diagrammen E6, E7, E8, F4 und G2. Diese kann man über den Satz von Serre zwar theoretisch konstruieren, aber mir ist nicht klar, wie ich die Dimension bestimmen könnte.
Zudem würde ich gerne wissen, ob schon jemand eine Darstellung eben dieser in angenehmer Form wie zB den bekannten sl, so und sp gebastelt hat (oder ob dies evtl gar nicht möglich ist). Ich konnte dazu bisher leider nichts finden.
Schonmal vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 29.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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