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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 23.05.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo ich muss hier eine ganze Reihe ähnlicher Aufgaben rechnen und würde gerne bitte eine erklärt haben wollen damit ich die anderen rechnen kann also...
für jede der folgenden liearen Abbildungen L geben sie jeweils die Dimension und die BAsis ihres Bildes Bild(L) und ihres Kernes Kern(L) an:
a)
[mm] l:R^4->R^3 [/mm] definiert durch [mm] L(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1x_1+2x_2,x_3+4x_4,2x_1+0x_2+3x_3+2x_4,1x_1-2x_2+4x_3-2x_4)
[/mm]
wär echt lieb wenn mir jemand helfen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mo 23.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Mausi
für jede der folgenden liearen Abbildungen L geben sie jeweils die Dimension und die BAsis ihres Bildes Bild(L) und ihres Kernes Kern(L) an:
a)
[mm] l:R^4->R^3 [/mm] definiert durch [mm] L(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1x_1+2x_2,x_3+4x_4,2x_1+0x_2+3x_3+2x_4,1x_1-2x_2+4x_3-2x_4) [/mm]
wär echt lieb wenn mir jemand helfen könnte sehr gerne, wenn ich könnte würde ich alle Aufgaben beantworten, aber deine Aufgabe ist ja ziemlich einfach
Also wir haben eine Linear Abbildung. [mm] l:R^4 \to R^4. [/mm] nicht [mm] R^3. [/mm] war das eine Tipfehler, oder hast du dich ober verschrieben, also eine komme zu viel. 
Jetz brauchen wir das Bild.
Ich bilde bzgl der Standart Basis ab,
L( [mm] e_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\0}
[/mm]
L( [mm] e_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\-2}
[/mm]
L( [mm] e_{3}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\4}
[/mm]
L( [mm] e_{4}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 2 \\-2}
[/mm]
Also BIld(L) = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 4\\2 & 0 & 3 & 2\\0 & -2 & 4 & -2}
[/mm]
Ich rechnenm jetz nicht weiter, du sollst auch mit machen.
Was ist eine Kern? und ab besten sollst du auch Kern-Bild-Satz wissen
f: V [mm] \to [/mm] W
dimKern f + dim Bild f = dim V
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Di 24.05.2005 | | Autor: | mausi |
also die Aufgabe is wirklich [mm] R^4->R^3 [/mm] da liegt ja mein Problem jemand anders vieleicht noch eine Idee das wär lieb
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Hallo!
Wenn deine Angabe wirklich so ist, steckt da tatsächlich ein Tippfehler drin. Denn der Vektor [mm] $(1x_1+2x_2,x_3+4x_4,2x_1+0x_2+3x_3+2x_4,1x_1-2x_2+4x_3-2x_4)$ [/mm] ist in [mm] $\IR^4$, [/mm] nicht in [mm] $\IR^3$. [/mm] Also muss es entweder [mm] $\IR^4\to\IR^4$ [/mm] heißen, oder das erste Komma ist zuviel, wobei mir das zweite irgendwie wahrscheinlicher erscheint. Es müsste dann also heißen
[mm] $A\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{1x_1+2x_2+x_3+4x_4\\2x_1+0x_2+3x_3+2x_4\\1x_1-2x_2+4x_3-2x_4}$.
[/mm]
Weißt du jetzt, wie du das Bild ausrechnen kannst?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 24.05.2005 | | Autor: | mausi |
Fehler gefunden ein Minus hat gefehlt
Matrix sieht so aus
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 4 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
oki also nach Umformung
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -4 & 5 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] -> rang (A) =2 -> dim (img(L))=2
span(img(L)={(1,2,1),(2,0,-2)}
laut Dimensionssatz ist die Dimension des Kernes = 2
aber wie berechne ich jetzt den Kern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 24.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebes Mause
>
> Matrix sieht so aus
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 \\
2 & 0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 4 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> oki also nach Umformung
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 \\
0 & -4 & 5 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
> -> rang (A) =2 -> dim (img(L))=2
> span(img(L)={(1,2,1),(2,0,-2)}
> laut Dimensionssatz ist die Dimension des Kernes = 2
> aber wie berechne ich jetzt den Kern?
Ja, bis hierhin alles gut. Ich würde vielleicht noch deinen 2. basisvektor durch 2 dividieren. Sieht etwas schöner aus, ist aber nicht unbedingt nötig.
Nun, der Kern ist ja die Lösungsmenge dieser Gleichung:
[mm] $\begin{pmatrix}1&2&-1&4\\2&0&3&2\\1&-2&4&-2\end{pmatrix}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Zum Auflösen des Gleichungssystems brauchst du ja den Gauss-Algorithmus. Du kannst deine Vorarbeit zur Berechnung des Rangs deiner Matrix also einfach weiterführen, indem du die Lösungsmenge dieses Systems bestimmst:
[mm] $\begin{pmatrix}1&2&-1&4\\0&-4&5&-6\end{pmatrix}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\0}$
[/mm]
Kannst du das bitte machen?
Zur Kontrolle:
ich habe als eine Basis des Kerns erhalten:
[mm] $\vektor{-3/2\\5/4\\1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-1\\-3/2\\0\\1}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 25.05.2005 | | Autor: | mausi |
Danke liebster Paulus
nach mehrmaligem probieren hab ich das auch raus bekommen
vielen Dank für deine tolle Hilfe
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