Dimension und eine Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Sa 17.11.2007 | | Autor: | zajad |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension des Unterraums von [mm] R^5, [/mm] der von folgenden Vektoren erzeugt wird:
u1 = (1,2,-2,2,-1)
u2 = (1,2,-1,3,-2)
u3 = (2,4,-7,1,1)
u4 = (1,2,-5,-1,2)
u5 = (1,2,-3,1,0) |
So, ich habe das Ganze erstmal als Matrix geschrieben
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -7 & -5 & -3 \\ 2 & 3 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 2 & 0 }
[/mm]
und per Gauß-Algorithmus bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -3 &-3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Somit ist die Dimension 2, da sie gleich dem Zeilenraum ist.
Wie berechne ich nun eine Basis?
Habt vielen Dank.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Sa 17.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Basis kannst du "ablesen".
Du hast Gauß angewandt und erhälst die folgenden (Stufen-)Matrix:
[mm] \pmat{ \red{1} & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & \red{1} & -3 &-3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Du hast in der [mm] \red{1.} [/mm] und [mm] \red{2. Spalte} [/mm] eine Stufe. Das heißt, es gibt zwei Basisvektoren:
[mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] (also die Vektoren die du in die 1. bzw. 2. Spalte geschrieben hast); alle anderen Vektoren sind linear abhängig und lassen sich mit Hilfe von [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] darstellen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 So 18.11.2007 | | Autor: | zajad |
Hallo,
ersteinmal: vielen Dank für die Antwort.
Ich bin aber verwirrt.
Habe mit jemandem meine Lösung abgeglichen und der meint, ich habe die Vektoren falsch in die Matrix geschrieben.
Ich habe ja u1, u2, ..., u5 jeweils in eine Spalte geschrieben, er meint die kommen in Zeilen.
Was stimmt nun? Ist das nicht egal? *duck*
Wenn das stimmt, was ich gemacht habe, dann wäre die Basis hier doch:
<u1, u2> = [mm] <\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ 2 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -2}>
[/mm]
Vielen Dank euch.
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> Hallo,
> ersteinmal: vielen Dank für die Antwort.
> Ich bin aber verwirrt.
> Habe mit jemandem meine Lösung abgeglichen und der meint,
> ich habe die Vektoren falsch in die Matrix geschrieben.
> Ich habe ja u1, u2, ..., u5 jeweils in eine Spalte
> geschrieben, er meint die kommen in Zeilen.
> Was stimmt nun? Ist das nicht egal? *duck*
>
> Wenn das stimmt, was ich gemacht habe, dann wäre die Basis
> hier doch:
> <u1, u2> = [mm]<\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ 2 \\ -1}, \vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -2}>[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei solchen Basisgeschichten muß man sich nicht so leicht verunsichern lassen, wenn andere andere Ergebnisse haben.
Vektorräume können sehr viele verschiedene Basen haben, die Anzahl der Elemente der Basis stimmt natürlich stets überein.
So wie Du es gemacht hast, ist es richtig, und es hat den Vorteil, daß man die Basis, die man so angibt, aus der vorgegebenen Menge v. Vektoren schöpft, was bei manchen Aufgabenstellungen gefragt ist, und außerdem kann man den Kern mit derselben Matrix bestimmen.
Was Dein Kommilitone gemacht hat, ist genauso richtig. Er hat die Vektoren als Zeilen in die Matrix geschrieben, auf Zeilenstufenform gebracht, und liest am Ende dann einfach die verbleibenden Zeilen ab, welche ihn eine Basis der gesuchten Menge liefern.
Wenn niemand Rechenfehler gemacht hat, habt Ihr zwei Basen gefunden, und wenn Ihr Euch bei den Kommilitonen umschaut, werdet Ihr Eure Sammlung (korrekter) Basen noch vergrößern können.
Gruß v. Angela
P.S.: Nachgerechnet habe ich nicht! Nur nachgedacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 So 18.11.2007 | | Autor: | zajad |
Vielen Dank, dann war es doch nicht falsch.
PS: Auch einen herzlichen Dank für die freundliche Aufnahme hier.
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