Dimension eines Teilraums < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Mi 29.08.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Symm (n) = (A [mm] \in \IR [/mm] nxn / A hoch T = A)
Welche Dimension hat der Teilraum? (wenn Symm (n) ein Teilraum von R nxn ist) |
Hallo kann jemand meine Lösung bestätigen?
Satz. Sei K ein Körper, sei A in M(m×n,K)
1. Es gilt:
Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A)
und man nennt dies daher einfach den Rang rang(A) der Matrix A.
2. Es ist
rang(A) = max {t | es gibt einen invertierbaren t-Minor A' von A}
3. Ist m = n, so ist A genau dann invertierbar, wenn A den Rang n hat.
gilt nun hier punkt 3 ?kann ich die frage so beantworten? da m=n ist bei R nxn
danke im vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Lösungsvorschlag ist, dass die Dimension des Teilraums nun n ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mi 29.08.2007 | | Autor: | IHomerI |
Du Solltest erstmal prüfen, ob Symm(n) ein Teilraum des [mm] R^{n,n} [/mm] ist. Dann guckst du dir die Basis an. Wovon hängt die Basis deines Teilraumes ab? Zeichne dier am besten ein paar Basen z.b.: [mm] R^{2,2},R^{3,3},R^{4,4} [/mm] und bestimme deren dimension. Du guckst wie es sich verändert und bestimmst dann "analog" deine dimension zu [mm] R^{n,n} [/mm] .
Also müsste die dimension so angegeben werden dim [mm] R^{n,n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
hoffe das hat dir weitergeholfen:)
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> Symm (n) = (A [mm]\in \IR[/mm] nxn / A hoch T = A)
> Welche Dimension hat der Teilraum? (wenn Symm (n) ein
> Teilraum von R nxn ist)
> Hallo kann jemand meine Lösung bestätigen?
>
>
> Satz. Sei K ein Körper, sei A in M(m×n,K)
>
> 1. Es gilt:
> Zeilenrang(A) = Spaltenrang(A)
> und man nennt dies daher einfach den Rang rang(A)
> der Matrix A.
> 2. Es ist
> rang(A) = max {t | es gibt einen invertierbaren
> t-Minor A' von A}
> 3. Ist m = n, so ist A genau dann invertierbar, wenn A
> den Rang n hat.
>
> gilt nun hier punkt 3 ?kann ich die frage so beantworten?
> da m=n ist bei R nxn
>
> Mein Lösungsvorschlag ist, dass die Dimension des
> Teilraums nun n ist.
Ich verstehe nicht, was der obige Satz Dir zur Beantwortung der Aufgabe bringt. Statt dessen würdest Du besser die offensichtlichste Basis von [mm] $\mathrm{Symm}(n)$ [/mm] angeben und deren Dimension durch einfache Kombinatorik berechnen. Als Basis bieten sich doch diejenigen symmetrischen [mm] $n\times [/mm] n$ Matrizen an, die nur $0$-Einträge besitzen, mit Ausnahme einer einzigen $1$ auf der Diagonalen, oder von zwei zur Diagonalen symmetrisch liegenden $1$en. Im Grunde musst Du also nur zählen, wie viele Elemente eine [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix oberhalb der Diagonalen (inklusive die Diagonale) hat: soviele verschiedene (offensichtlich linear-unabhängige) Basismatrizen von [mm] $\mathrm{Symm}(n)$ [/mm] gibt es dann.
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