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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 12 & -3 & 0 \\-51 & 9/4 & -3}
[/mm]
Mit dieser Matrix A werden eine lineare Abbildug [mm] \varphi:\IR^3->\IR^3 [/mm] vermöge [mm] x\mapsto y=\varphi(x)=Ax [/mm] definiert. Geben sie die Dimension des Bildraumes an |
Ist die Dimension des Bidlraumes nicht die ANzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren.
In meinem Buch steht, das diese genau dann linear unabhängig sind, wenn die Matrix regulär ist.
Das ist aber nicht der Fall det(A)=0
Nachdem ich den Gauß angewndet habe sieht man das rg(A)=2 und somit kleiner als 3 ist. Also linear abhängig.
Was sagt das über die Dimension des Bildraumes aus ???
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Hi,
> [mm]A=\pmat{ 6 & 2 & 1 \\ 12 & -3 & 0 \\-51 & 9/4 & -3}[/mm]
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> Mit dieser Matrix A werden eine lineare Abbildug
> [mm]\varphi:\IR^3->\IR^3[/mm] vermöge [mm]x\mapsto y=\varphi(x)=Ax[/mm]
> definiert. Geben sie die Dimension des Bildraumes an
> Ist die Dimension des Bidlraumes nicht die ANzahl der
> linear unabhängigen Spaltenvektoren ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> In meinem Buch steht, das diese genau dann linear
> unabhängig sind, wenn die Matrix regulär ist.
>
>
> Das ist aber nicht der Fall det(A)=0
>
> Nachdem ich den Gauß angewndet habe sieht man das rg(A)=2
> und somit kleiner als 3 ist. Also linear abhängig.
> Was sagt das über die Dimension des Bildraumes aus ???
Es gilt $ [mm] \operatorname{dim} \operatorname{im} \varphi [/mm] = [mm] \operatorname{dim} \left( \operatorname{span}(s_1,s_2,s_3) \right) [/mm] = [mm] \operatorname{rank} [/mm] A $
($ [mm] s_i$ [/mm] ist die i-te Spalte von $ A $)
Hilft das?
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
Also wäre [mm] \operatorname{dim} \operatorname{im}=2
[/mm]
was genau ist dann nochmal das Bild? Sind das dann einfach die Spaltenvektoren?
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Hi nochmal,
> Also wäre [mm]\operatorname{dim} \operatorname{im}=2[/mm]
>
> was genau ist dann nochmal das Bild? Sind das dann einfach
> die Spaltenvektoren?
Naja, fast. Die Spaltenvektoren von $ A $ spannen einen Untervektorraum des Zielbereichs von $ [mm] \varphi [/mm] $ auf. Dieser Untervektorraum ist gerade das Bild.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
Oh man,
mit den ganzen Formalitäten zu Kern, Basis; Untervektorraum, Bild... hab ich so meine Probleme.
Ich habe gerade nochmal versucht etwas über die Untervektorräume zu erfahren.
Einmal steht da, daß nur eine
Linear unabhängige Menge an Vektoren einen Untervektorraum erzeugt.
Aber die Spaltenvektoren sind doch gerade nicht linear unabhängig.
Tut mir leid, wenn ich jetzt was doofes geschrieben habe. Aber mir wurde das ganze noch nie richtig erklärt
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Hallo x61,
> Oh man,
>
> mit den ganzen Formalitäten zu Kern, Basis;
> Untervektorraum, Bild... hab ich so meine Probleme.
> Ich habe gerade nochmal versucht etwas über die
> Untervektorräume zu erfahren.
> Einmal steht da, daß nur eine
> Linear unabhängige Menge an Vektoren einen Untervektorraum
> erzeugt.
Warum sollte das so sein?
Es erzeugt doch sicher [mm]\left\{\vektor{1\\
0},\vektor{0\\
1},\vektor{1\\
1}\right\}[/mm] den [mm]\IR^2[/mm] ...
Ein Erzeugendensystem muss nicht notwendig eine linear unabh. Menge von Vektoren sein.
Eine Basis hingegen schon!, im Bsp. ist [mm]\left\{\vektor{1\\
0},\vektor{0\\
1}\right\}[/mm] eine Basis, auch ein MINIMALES EZS
> Aber die Spaltenvektoren sind doch gerade nicht linear
> unabhängig.
Es ist so, dass die Spaltenvektoren einer Matrix stets einen Vektorraum erzeugen, den Spaltenraum (auch: das Bild der linearen Abbildung, die die Matrix repräsentiert)
Hier ist die Menge aus allen drei Spaltenvektoren linear abhängig, nichtsdestotrotz bilden sie ein EZS für das Bild, aber keine BASIS!
Du hast berechnet, dass der Rang der Matrix 2 ist, mithin ist die Dimension des Bildes =2, dh. eine Basis enthält 2 (l.u.) Vektoren.
Wähle dir aus den 3 Spaltenvektoren 2 linear unabhängige aus und du hast eine BASIS des Bildes (=ein MINIMALES EZS)
>
> Tut mir leid, wenn ich jetzt was doofes geschrieben habe.
> Aber mir wurde das ganze noch nie richtig erklärt
Vllt. macht's nun etwas klick?!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 15.10.2010 | | Autor: | x61 |
Ha,
das ist mal eine Antwort die ich nachvollziehen und verstehen kann.
Vielen, vielen Dank!!
Ich kannte das Gefühl schon nicht mehr , wenn es bei Mathe klickt :)
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