Dimension der Mannigfaltigkeit < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Kurve $K:= [mm] (\cos [/mm] (x); [mm] \sin(x) [/mm] ;x) [mm] \in \IR^{3}, [/mm] x [mm] \in (0,2\pi)$
[/mm]
Zeige, dass die Kurve eine Mannigfaltigkeit der Dimension 1 besitzt, indem man eine geeignete Parametrisierung angibt.
Man berechne die Länge dieser Kurve. |
Hallo,
nach einer nur mehr oder weniger ergebnislosen Suche nach einer passenden Art und Weise im Script meiner Vorlesung und im Internet wende ich mich an euch. Was eine Mannigfaltigkeit ist, ist mir nun glücklicher Weise klar allerdings bin ich noch weit davon entfernt ihre Dimension bestimmen zu können daher meine Frage.
Meine Verwirrung beginnt eigentlich schon bei der Aussage eine geeignet Parametrisierung zu wählen. An sich ist dies doch gar nicht mehr nötig da die Kurve ausreichend beschrieben wird.
Zur Berechnung hätte ich sie einfach nun skalar mit ihrem Normalenvektor Multipliziert und danach über dx integriert.
Sprich [mm] \integral_{0}^{2\pi}{< \vektor{cos(x)\\sin(x)\\x}|\vektor{-sin(x)\\cos(x)\\1}> dx}
[/mm]
Dessen Ergebnis wäre dann gleich [mm] 2\pi^{2}
[/mm]
Weis jemand also wie ich die Dimension einer Mannigfaltigkeit bestimmen bzw. aufzeigen kann und ob meine Berechnung der Kurvenlänge stimmt und legetim ist?
Für Hilfe bin ich sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
DasgemeinePhi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
zur Dimension:
es sollte doch reichen zu zeigen, dass [mm] f(x):=\vektor{\cos (x)\\ \sin(x)\\ x}
[/mm]
ein Homöomorphismus von [mm] (0,2\pi) [/mm] auf das Bild dieses Intervalls unter f darstellt.
Dann ist das Paar [mm] ((0,2\pi),f) [/mm] sowas wie ein einelementiger Atlas für die Kurve, und damit ist die Dimension 1 (denn das Intervall
[mm] (0,2\pi) [/mm] ''lebt'' ja im [mm] \IR^1.
[/mm]
Gruss,
Mathias
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Danke für die schnelle Antwort,
also mit Homöomorphismus ist gemeint das ich f(x) auf seine Stetigkeit, Injektivtät und Surjektivität im [mm] R^{1} [/mm] für das Intervall [mm] (o/2\pi) [/mm] und wenn eine Umkehrfunktion existiert.
Sehe ich das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 26.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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