Dimension Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $V$ der [mm] $\IR$ [/mm] - Vektorraum der reellen Folgen, mit der Vektoraddition [mm] $(a_n)_{n\in\IN}+(b_n)_{n\in\IN}=(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und der skalaren Multiplikation [mm] $\lambda\cdot{}(a_n)_{n\in\IN}=(\lambda\cdot{}a_n)_{n\in\IN}$. [/mm] Sei nun [mm] $N\in\IN, [/mm] \ [mm] \alpha_0,...,\alpha_{N-1}\in\IR$ [/mm] und [mm] $f:\IR^N\rightarrow\IR$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f(x_0,...,x_{N-1})=\sum_{i=0}^{N-1} \alpha_ix_i$
[/mm]
Beweisen Sie: Dann ist die Teilmenge [mm] $U\subseteq [/mm] V$ definiert durch [mm] $U=\{(a_n)_{n\in\IN}\mid a_{n+N}=f(a_n,...,a_{n+N-1}) \ \text{für alle} \ n\in\IN\}$ [/mm] ein N-dimensionaler Unterraum von $V$ |
Hallo zusammen,
Ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem - wenn ich sie richtig verstanden habe, dann setzt sich jedes n-te Folgeglied der Folgen, die Element des Unterraums sind, zusammen aus N Summen von Folgegliedern. Somit hat der Unterraum also auch die Dimension N. Ich habe aber leider keine Idee zu einem Beweis. Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße Hanna
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt
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Mir ist gerade aufgefallen, das ich mich diverse Male vertippt habe und die Formeln nun leider sehr unleserlich sind. Ich habe die Frage nochmal "sauber" gepostet.
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Hallo,
> Sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm] - Vektorraum der reellen Folgen, mit der
> Vektoraddition
> [mm](a_n)_{n\in\IN}+(b_n)_{n\in\IN}=(a_n+b_n)_{n\in\IN}[/mm] und der
> skalaren Multiplikation
> [mm]\lambda\cdot{}(a_n)_{n\in\IN}=(\lambda\cdot{}a_n)_{n\in\IN}[/mm].
> Sei nun [mm]N\in\IN, \alpha_0,...,\alpha_{n-1}\in\IR[/mm] und
> [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR[/mm] gegeben durch
> [mm]f(x_0,...,x_{N-1})=\sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i\x_i[/mm]
Irgendwie stimmt bei der Aufgabenstellung was nicht. Wie sieht f aus, was ist [mm] x_{0}, [/mm] usw.
Ich vermute, die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
[mm] N\in\IN, \alpha_{0},...,\alpha_{N-1}\in [/mm] V,
[mm] f:\IR^{N}\to \IR: (x_{0},...,x_{N-1}) \mapsto \sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i*x_i
[/mm]
Kommt das hin?
> Beweisen Sie: Dann ist die Teilmenge [mm]U\subseteq V[/mm] definiert
> durch [mm]U=\{(a_n)_{n\in\IN}\mid a_{n+N}=f(a_n,...,a_{n+N-1}) \ \text{für alle} \ n\in\IN\}[/mm]
> ein N-dimensionaler Unterraum von [mm]V[/mm]
> Ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem - wenn ich sie
> richtig verstanden habe, dann setzt sich jedes n-te
> Folgeglied der Folgen, die Element des Unterraums sind,
> zusammen aus N Summen von Folgegliedern.
Ja, und zwar in folgenden Weise:
Das n-te Folgenglied wird aus den N vorherigen Folgengliedern [mm] a_{n-N},...,a_{n-1} [/mm] berechnet.
> Somit hat der
> Unterraum also auch die Dimension N.
Diese Folgerung verstehe ich nicht.
Zeige erstmal, dass es sich bei der gegebenen Menge U wirklich um einen Untervektorraum handelt, indem du die drei Kriterien für Untervektorräume nachprüfst.
Zur Dimension: Wie du an der Definition der Folgen in U sehen kannst, ist die Folge ab dem (N+1)-ten Folgenglied bestimmt. (Die Regel für die Folgenglieder, die in der Definition von U steht, greift ja erst ab n = 1 wegen [mm] n\in\IN).
[/mm]
Das bedeutet: Die Folgenglieder [mm] a_{1},...,a_{N} [/mm] sind keinen Bedingungen unterworfen.
Verstehst du das?
Daraus folgt nun mit einigen Überlegungen, dass die Dimension N ist.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
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> > Sei [mm]V[/mm] der [mm]\IR[/mm] - Vektorraum der reellen Folgen, mit der
> > Vektoraddition
> > [mm](a_n)_{n\in\IN}+(b_n)_{n\in\IN}=(a_n+b_n)_{n\in\IN}[/mm] und der
> > skalaren Multiplikation
> >
> [mm]\lambda\cdot{}(a_n)_{n\in\IN}=(\lambda\cdot{}a_n)_{n\in\IN}[/mm].
> > Sei nun [mm]N\in\IN, \alpha_0,...,\alpha_{n-1}\in\IR[/mm] und
> > [mm]f:\IR^2\rightarrow\IR[/mm] gegeben durch
> > [mm]f(x_0,...,x_{N-1})=\sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i\x_i[/mm]
>
> Irgendwie stimmt bei der Aufgabenstellung was nicht. Wie
> sieht f aus, was ist [mm]x_{0},[/mm] usw.
> Ich vermute, die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
>
> [mm]N\in\IN, \alpha_{0},...,\alpha_{N-1}\in[/mm] V,
>
Ja, ich habe mich vertippt - es heißt [mm]N\in\IN, \alpha_{0},...,\alpha_{N-1}\in\IR[/mm]
> [mm]f:\IR^{N}\to \IR: (x_{0},...,x_{N-1}) \mapsto \sum_{i=0}^{N-1} \alpha_i*x_i[/mm]
>
> Kommt das hin?
Stimmt! [mm]x_0[/mm] usw. sind nicht näher definiert.
>
> > Beweisen Sie: Dann ist die Teilmenge [mm]U\subseteq V[/mm] definiert
> > durch [mm]U=\{(a_n)_{n\in\IN}\mid a_{n+N}=f(a_n,...,a_{n+N-1}) \ \text{für alle} \ n\in\IN\}[/mm]
> > ein N-dimensionaler Unterraum von [mm]V[/mm]
>
>
> > Ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem - wenn ich sie
> > richtig verstanden habe, dann setzt sich jedes n-te
> > Folgeglied der Folgen, die Element des Unterraums sind,
> > zusammen aus N Summen von Folgegliedern.
>
> Ja, und zwar in folgenden Weise:
>
> Das n-te Folgenglied wird aus den N vorherigen
> Folgengliedern [mm]a_{n-N},...,a_{n-1}[/mm] berechnet.
>
Das heißt, das n-te Folgeglied ist die Summe der N vorherigen Folgegliedern, oder? Und N ist fest?
> > Somit hat der
> > Unterraum also auch die Dimension N.
>
> Diese Folgerung verstehe ich nicht.
> Zeige erstmal, dass es sich bei der gegebenen Menge U
> wirklich um einen Untervektorraum handelt, indem du die
> drei Kriterien für Untervektorräume nachprüfst.
Also z.Z.
1. der Nullvektor ist in U enthalten, ist erfüllt für [mm](a_n)=0[/mm]
2. Die Summe zweier Folgen aus U ist in U enthalten [mm](a_n)+(b_n)=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*a_i+\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*b_i=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*(a_i+b_i)[/mm] und somit Element von U
3. das skalare Produkt einer Folge aus U ist in U enthalten [mm]\lambda(a_n)=\lambda\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*a_i=\sum_{i=n-N}^{n-1} \lambda\alpha_i*a_i[/mm] und somit Element von U
> Zur Dimension: Wie du an der Definition der Folgen in U
> sehen kannst, ist die Folge ab dem (N+1)-ten Folgenglied
> bestimmt. (Die Regel für die Folgenglieder, die in der
> Definition von U steht, greift ja erst ab n = 1 wegen
> [mm]n\in\IN).[/mm]
> Das bedeutet: Die Folgenglieder [mm]a_{1},...,a_{N}[/mm] sind
> keinen Bedingungen unterworfen.
>
> Verstehst du das?
Soweit ja, das bedeutet aber doch, daß ich jedes Folgeglied zurückführen kann auf N "Basisfolgeglieder", die also meinen Untervektorraum erzeugen. Daraus folgt doch dann die Dimension N, oder?
>
> Daraus folgt nun mit einigen Überlegungen, dass die
> Dimension N ist.
>
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> > Das n-te Folgenglied wird aus den N vorherigen
> > Folgengliedern [mm]a_{n-N},...,a_{n-1}[/mm] berechnet.
> >
> Das heißt, das n-te Folgeglied ist die Summe der N
> vorherigen Folgegliedern, oder? Und N ist fest?
Nicht genau die Summe der N vorherigen Folgenglieder. Du kannst ja an der Definition sehen, dass jedes der N vorherigen Folgenglieder vor dem Aufsummieren noch mit einem Faktor multipliziert wird.
> > Zeige erstmal, dass es sich bei der gegebenen Menge U
> > wirklich um einen Untervektorraum handelt, indem du die
> > drei Kriterien für Untervektorräume nachprüfst.
>
> Also z.Z.
> 1. der Nullvektor ist in U enthalten, ist erfüllt für
> [mm](a_n)=0[/mm]
Genau. Exakterweise sollte man das noch "Nachrechnen".
> 2. Die Summe zweier Folgen aus U ist in U enthalten
> [mm](a_n)+(b_n)=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*a_i+\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*b_i=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*(a_i+b_i)[/mm]
> und somit Element von U
Das ist soweit vom Prinzip her okay. Du hast zu zeigen, dass die Identität für alle [mm] n\in\IN [/mm] erfüllt ist. Sei also [mm] n\in\IN [/mm] beliebig, dann ist (wenn wir uns näher an die Definition in U halten):
[mm] $(a_{n+N}) [/mm] + [mm] (b_{n+N}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{N-1}\alpha_{i}*a_{n+i} [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^{N-1}\alpha_{i}*b_{n+i} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{N-1}\alpha_{i}*(a_{n+i} [/mm] + [mm] b_{n+i}) [/mm] = [mm] (a_{n+N} [/mm] + [mm] b_{n+N})$.
[/mm]
> 3. das skalare Produkt einer Folge aus U ist in U
> enthalten [mm]\lambda(a_n)=\lambda\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*a_i=\sum_{i=n-N}^{n-1} \lambda\alpha_i*a_i[/mm]
> und somit Element von U
Auch okay.
> > Zur Dimension: Wie du an der Definition der Folgen in U
> > sehen kannst, ist die Folge ab dem (N+1)-ten Folgenglied
> > bestimmt. (Die Regel für die Folgenglieder, die in der
> > Definition von U steht, greift ja erst ab n = 1 wegen
> > [mm]n\in\IN).[/mm]
> > Das bedeutet: Die Folgenglieder [mm]a_{1},...,a_{N}[/mm] sind
> > keinen Bedingungen unterworfen.
> >
> > Verstehst du das?
>
> Soweit ja, das bedeutet aber doch, daß ich jedes
> Folgeglied zurückführen kann auf N "Basisfolgeglieder",
> die also meinen Untervektorraum erzeugen. Daraus folgt doch
> dann die Dimension N, oder?
Ja, nur sind es nicht N "Basisfolgenglieder", sondern N Basisfolgen. Welche N Basisfolgen können wir wählen? Kannst du nachweisen, dass diese linear unabhängig sind?
Grüße,
Stefan
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> > >
> > Das heißt, das n-te Folgeglied ist die Summe der N
> > vorherigen Folgegliedern, oder? Und N ist fest?
>
> Nicht genau die Summe der N vorherigen Folgenglieder. Du
> kannst ja an der Definition sehen, dass jedes der N
> vorherigen Folgenglieder vor dem Aufsummieren noch mit
> einem Faktor multipliziert wird.
Ok, aber das Prinzip habe ich schon mal verstanden :)
>
> > Also z.Z.
> > 1. der Nullvektor ist in U enthalten, ist erfüllt für
> > [mm](a_n)=0[/mm]
>
> Genau. Exakterweise sollte man das noch "Nachrechnen".
[mm](a_n)=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*a_i=\sum_{i=n-N}^{n-1} \alpha_i*0=0[/mm]
>
> >
> > Soweit ja, das bedeutet aber doch, daß ich jedes
> > Folgeglied zurückführen kann auf N "Basisfolgeglieder",
> > die also meinen Untervektorraum erzeugen. Daraus folgt doch
> > dann die Dimension N, oder?
>
> Ja, nur sind es nicht N "Basisfolgenglieder", sondern N
> Basisfolgen. Welche N Basisfolgen können wir wählen?
> Kannst du nachweisen, dass diese linear unabhängig sind?
>
>
das verstehe ich leider nicht - ich betrachte doch die Menge aller Folgen, mit der Eigenschaft, daß das n+Nte Folgeglied die Summe skalarer Vielfacher der jeweils N vorherigen Folgeglieder ist.
Also z.B. n=1 und N=6, dann ist [mm]a_7=f(a_1,...,a_6)=\sum_{i=1}^{6} \alpha_i*a_i=\alpha_1(a_1)+\alpha_2(a_2)+...+\alpha_6(a_6)[/mm]?
Dann verstehe ich nicht, warum ich ganze Folgen in der Basis habe?
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> > > Soweit ja, das bedeutet aber doch, daß ich jedes
> > > Folgeglied zurückführen kann auf N "Basisfolgeglieder",
> > > die also meinen Untervektorraum erzeugen. Daraus folgt doch
> > > dann die Dimension N, oder?
> >
> > Ja, nur sind es nicht N "Basisfolgenglieder", sondern N
> > Basisfolgen. Welche N Basisfolgen können wir wählen?
> > Kannst du nachweisen, dass diese linear unabhängig sind?
> >
> >
> das verstehe ich leider nicht - ich betrachte doch die
> Menge aller Folgen, mit der Eigenschaft, daß das n+N te
> Folgeglied die Summe skalarer Vielfacher der jeweils N
> vorherigen Folgeglieder ist.
Genau.
> Also z.B. n=1 und N=6, dann ist
> [mm]a_7=f(a_1,...,a_6)=\sum_{i=1}^{6} \alpha_i*a_i=\alpha_1(a_1)+\alpha_2(a_2)+...+\alpha_6(a_6)[/mm]?
Genau.
> Dann verstehe ich nicht, warum ich ganze Folgen in der
> Basis habe?
U ist ein Raum, dessen Elemente Folgen sind. Eine Basis eines Raumes besteht aus Elementen des Raumes! Wenn du eine Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] angeben sollst, schreibst du doch auch nicht 1,2,3 hin, sondern irgendwelche Vektoren. Und hier, bei U, sind die Vektoren = Folgen!
Du musst nun also N linear unabhängige Folgen finden, die in U liegen. Tipp: Probiere die Folgen [mm] (b_{1},...,b_{N}) [/mm] mit [mm] b_{i} [/mm] = Folge, bei welcher die ersten N Folgenglieder = Null sind, außer das i-te Folgenglied, dieses ist 1.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
> > das verstehe ich leider nicht - ich betrachte doch die
> > Menge aller Folgen, mit der Eigenschaft, daß das n+N te
> > Folgeglied die Summe skalarer Vielfacher der jeweils N
> > vorherigen Folgeglieder ist.
>
> Genau.
>
> > Also z.B. n=1 und N=6, dann ist
> > [mm]a_7=f(a_1,...,a_6)=\sum_{i=1}^{6} \alpha_i*a_i=\alpha_1(a_1)+\alpha_2(a_2)+...+\alpha_6(a_6)[/mm]?
>
> Genau.
>
> > Dann verstehe ich nicht, warum ich ganze Folgen in der
> > Basis habe?
>
> U ist ein Raum, dessen Elemente Folgen sind. Eine Basis
> eines Raumes besteht aus Elementen des Raumes! Wenn du eine
> Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] angeben sollst, schreibst du doch auch
> nicht 1,2,3 hin, sondern irgendwelche Vektoren. Und hier,
> bei U, sind die Vektoren = Folgen!
>
> Du musst nun also N linear unabhängige Folgen finden, die
> in U liegen. Tipp: Probiere die Folgen [mm](b_{1},...,b_{N})[/mm]
> mit [mm]b_{i}[/mm] = Folge, bei welcher die ersten N Folgenglieder =
> Null sind, außer das i-te Folgenglied, dieses ist 1.
>
Ok, seien [mm](b_i)_i_\in_\IN[/mm], 1<=i<=N Folgen mit [mm](b_i_k)=1[/mm] für k= i und [mm](b_i_k)=0[/mm] für k[mm]\ne[/mm]i
dann ist zu zeigen:
[mm]\sum_{i=1}^{N} \alpha_i*b_i=0[/mm] genau dann wenn [mm]\alpha_i=0[/mm], aber da bin ich mir nicht sicher...
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> > Du musst nun also N linear unabhängige Folgen finden, die
> > in U liegen. Tipp: Probiere die Folgen [mm](b_{1},...,b_{N})[/mm]
> > mit [mm]b_{i}[/mm] = Folge, bei welcher die ersten N Folgenglieder =
> > Null sind, außer das i-te Folgenglied, dieses ist 1.
> >
> Ok, seien [mm](b_i)_i_\in_\IN[/mm], 1<=i<=N Folgen mit [mm](b_i_k)=1[/mm]
> für k= i und [mm](b_i_k)=0[/mm] für k[mm]\ne[/mm]i
Genau. Im Moment sieht es aber noch so aus, als würden deine Folgen beim N+1-ten Folgenglied abbrechen. Dem ist natürlich nicht so. Wir definieren einfach wie oben die ersten N Folgenglieder, und die restlichen Folgenglieder werden dann genau so gewählt, dass die Folge in U liegt (nach der Regel für Folgen, die in U liegen = Definition von U). Wir schreiben mal besser im Folgenden [mm] (b^{(1)},...,b_{(N)}) [/mm] für die Basisfolgen, damit wir auch schreiben können: [mm] $((b^{(1)}_{n})_{n\in\IN},...,(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN})$ [/mm] und klarer wird, dass es sich um Folgen handelt.
> dann ist zu zeigen:
>
> [mm]\sum_{i=1}^{N} \alpha_i*b_i=0[/mm] genau dann wenn [mm]\alpha_i=0[/mm],
> aber da bin ich mir nicht sicher...
Es stimmt wieder vom Prinzip her, aber es geht ja um die lineare Unabgängigkeit von Folgen. (Ich nehme mal als Skalare [mm] \lamda_{i}, [/mm] weil die [mm] \alpha_{i} [/mm] in der Aufgabenstellung schon belegt sind). Zu zeigen ist, dass wenn es [mm] \lambda_{i} [/mm] gibt mit
[mm] $\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (0)_{n\in\IN}$,
[/mm]
dann folgt [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 für i = 1,...,N. Beachte, dass die obige Gleichheit eine Gleichheit zwischen FOLGEN herstellt, auf der rechten Seite steht die Nullfolge, auf der linken Seite steht auch eine Folge. Zwei Folgen sind gleich, wenn sie in allen Folgengliedern übereinstimmen. Deswegen gilt also die obige Gleichung für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] $\lambda_{1}*b^{(1)}_{n} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} [/mm] = 0$
Nun musst du begründen, warum die [mm] \lambda_{i} [/mm] alle Null sind. Setze dafür geeignete Werte für n ein!
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
> Genau. Im Moment sieht es aber noch so aus, als würden
> deine Folgen beim N+1-ten Folgenglied abbrechen. Dem ist
> natürlich nicht so. Wir definieren einfach wie oben die
> ersten N Folgenglieder, und die restlichen Folgenglieder
> werden dann genau so gewählt, dass die Folge in U liegt
> (nach der Regel für Folgen, die in U liegen = Definition
> von U). Wir schreiben mal besser im Folgenden
> [mm](b^{(1)},...,b_{(N)})[/mm] für die Basisfolgen, damit wir auch
> schreiben können:
> [mm]((b^{(1)}_{n})_{n\in\IN},...,(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN})[/mm] und
> klarer wird, dass es sich um Folgen handelt.
Also: Seien [mm](b^{(i)}_n)_n_\in_\IN[/mm], Folgen mit:
-- für 1<=i<=N: [mm](b^{(i)}_n)=1[/mm] für n= i und [mm](b^{(i)}_n)=0[/mm] für n[mm]\ne[/mm]i
-- für N<i: [mm](b^{(i)}_n)=f(b_n,...,b_n_+_N_-_1)[/mm]
> > dann ist zu zeigen:
> >
> [mm]\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} = (0)_{n\in\IN}[/mm],
>
> dann folgt [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 für i = 1,...,N. Beachte, dass
> die obige Gleichheit eine Gleichheit zwischen FOLGEN
> herstellt, auf der rechten Seite steht die Nullfolge, auf
> der linken Seite steht auch eine Folge. Zwei Folgen sind
> gleich, wenn sie in allen Folgengliedern übereinstimmen.
> Deswegen gilt also die obige Gleichung für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = 0[/mm]
>
> Nun musst du begründen, warum die [mm]\lambda_{i}[/mm] alle Null
> sind. Setze dafür geeignete Werte für n ein!
Wäre es in Ordnung zu sagen: Es gilt für n=i: [mm]\sum_{i=1}^{N} \lambda_i*b^{(i)}_n[/mm]=[mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = \lambda_{1}*1+...+\lambda_{N}*1=0[/mm] genau dann, wenn alle [mm]\lambda_i[/mm]= 0
Liebe Grüße Hanna
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Hallo!
> > Hallo,
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> > Genau. Im Moment sieht es aber noch so aus, als würden
> > deine Folgen beim N+1-ten Folgenglied abbrechen. Dem ist
> > natürlich nicht so. Wir definieren einfach wie oben die
> > ersten N Folgenglieder, und die restlichen Folgenglieder
> > werden dann genau so gewählt, dass die Folge in U liegt
> > (nach der Regel für Folgen, die in U liegen = Definition
> > von U). Wir schreiben mal besser im Folgenden
> > [mm](b^{(1)},...,b_{(N)})[/mm] für die Basisfolgen, damit wir auch
> > schreiben können:
> > [mm]((b^{(1)}_{n})_{n\in\IN},...,(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN})[/mm] und
> > klarer wird, dass es sich um Folgen handelt.
>
> Also: Seien [mm](b^{(i)}_n)_n_\in_\IN[/mm], Folgen mit:
> -- für 1<=i<=N: [mm](b^{(i)}_n)=1[/mm] für n= i und [mm](b^{(i)}_n)=0[/mm]
> für n[mm]\ne[/mm]i
> -- für N<i: [mm](b^{(i)}_n)=f(b_n,...,b_n_+_N_-_1)[/mm]
Du hast hier gerade die Indizes vertauscht. Der Index oben an der Folge in Klammern ist die Nummer des Basiselements.
Verbesserung:
> Also: Für 1 <= i <= N seien [mm](b^{(i)}_n)_n_\in_\IN[/mm], Folgen mit:
> -- [mm](b^{(i)}_n)=1[/mm] für n= i und [mm](b^{(i)}_n)=0[/mm]
> für 1 <= n <= N, [mm] n\not= [/mm] i.
Die Argumente in f stimmen auch noch nicht ganz, da musst du nochmal schauen.
> > [mm]\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} = (0)_{n\in\IN}[/mm],
>
> >
> > dann folgt [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 für i = 1,...,N. Beachte, dass
> > die obige Gleichheit eine Gleichheit zwischen FOLGEN
> > herstellt, auf der rechten Seite steht die Nullfolge, auf
> > der linken Seite steht auch eine Folge. Zwei Folgen sind
> > gleich, wenn sie in allen Folgengliedern übereinstimmen.
> > Deswegen gilt also die obige Gleichung für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
> >
> > [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = 0[/mm]
>
> >
> > Nun musst du begründen, warum die [mm]\lambda_{i}[/mm] alle Null
> > sind. Setze dafür geeignete Werte für n ein!
>
> Wäre es in Ordnung zu sagen: Es gilt für n=i:
> [mm]\sum_{i=1}^{N} \lambda_i*b^{(i)}_n[/mm]=[mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = \lambda_{1}*1+...+\lambda_{N}*1=0[/mm]
> genau dann, wenn alle [mm]\lambda_i[/mm]= 0
Zwei schlechte Nachrichten: erstens darfst du das, was du da tust (n = i) gar nicht machen, weil in der Ausgangsgleichung natürlich alle n dieselben sein müssen!
Zweitens bringt dir die Aussage [mm] $\lambda_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N} [/mm] = 0$ sowieso nichts, weil daraus nicht [mm] \lambda_{i} [/mm] = 0 für alle i = 1,...,N folgt.
Setze in die Ausgangsgleichung für alle auftretenden n's n = 1 ein. Was steht da?
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
> > Also: Seien [mm](b^{(i)}_n)_n_\in_\IN[/mm], Folgen mit:
> > -- für 1<=i<=N: [mm](b^{(i)}_n)=1[/mm] für n= i und
> [mm](b^{(i)}_n)=0[/mm]
> > für n[mm]\ne[/mm]i
> > -- für N<i: [mm](b^{(i)}_n)=f(b_n,...,b_n_+_N_-_1)[/mm]
>
> Du hast hier gerade die Indizes vertauscht. Der Index oben
> an der Folge in Klammern ist die Nummer des Basiselements.
> Verbesserung:
>
> > Also: Für 1 <= i <= N seien [mm](b^{(i)}_n)_n_\in_\IN[/mm], Folgen
> mit:
> > -- [mm](b^{(i)}_n)=1[/mm] für n= i und [mm](b^{(i)}_n)=0[/mm]
> > für 1 <= n <= N, [mm]n\not=[/mm] i.
>
> Die Argumente in f stimmen auch noch nicht ganz, da musst
> du nochmal schauen.
>
Ich glaub' jetzt bin ich mit den Indizes komplett durcheinander gekommen. Nochmal zum Verständnis: das hochgestellte i bezeichnet die Nummer der Basisfolge von (1,...,N) und der laufende Index (n)bezeichnet das n-te Folgeglied, oder?
meinst du:
-- für N<n: [mm](b^{(i)}_n)=f(b_n,...,b_n_+_N_-_1)[/mm] ?
> > > [mm]\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} = (0)_{n\in\IN}[/mm],
>
> >
> > >
> > > dann folgt [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 für i = 1,...,N. Beachte, dass
> > > die obige Gleichheit eine Gleichheit zwischen FOLGEN
> > > herstellt, auf der rechten Seite steht die Nullfolge, auf
> > > der linken Seite steht auch eine Folge. Zwei Folgen sind
> > > gleich, wenn sie in allen Folgengliedern übereinstimmen.
> > > Deswegen gilt also die obige Gleichung für alle [mm]n\in\IN:[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun musst du begründen, warum die [mm]\lambda_{i}[/mm] alle Null
> > > sind. Setze dafür geeignete Werte für n ein!
> >
> > Wäre es in Ordnung zu sagen: Es gilt für n=i:
> > [mm]\sum_{i=1}^{N} \lambda_i*b^{(i)}_n[/mm]=[mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n} = \lambda_{1}*1+...+\lambda_{N}*1=0[/mm]
> > genau dann, wenn alle [mm]\lambda_i[/mm]= 0
>
> Zwei schlechte Nachrichten: erstens darfst du das, was du
> da tust (n = i) gar nicht machen, weil in der
> Ausgangsgleichung natürlich alle n dieselben sein
> müssen!
> Zweitens bringt dir die Aussage [mm]\lambda_{1} + ... + \lambda_{N} = 0[/mm]
> sowieso nichts, weil daraus nicht [mm]\lambda_{i}[/mm] = 0 für alle
> i = 1,...,N folgt.
>
>
> Setze in die Ausgangsgleichung für alle auftretenden n's n
> = 1 ein. Was steht da?
Ok, dann habe ich [mm]a_N=f(a_1,....,a_N)=\sum_{i=1}^{N} \alpha_i*a_i[/mm] aber ich verstehe nicht, wie mich das weiterbringt
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> Ich glaub' jetzt bin ich mit den Indizes komplett
> durcheinander gekommen. Nochmal zum Verständnis: das
> hochgestellte i bezeichnet die Nummer der Basisfolge von
> (1,...,N) und der laufende Index (n)bezeichnet das n-te
> Folgeglied, oder?
Genau!
> meinst du:
> -- für N<n: [mm](b^{(i)}_n)=f(b_n,...,b_n_+_N_-_1)[/mm] ?
Nein, ich meinte schon bei den Argumenten von f. Die Formel lautet eigentlich (siehe Definition von U):
$ [mm] a_{k+N}=f(a_k,...,a_{k+N-1})$ [/mm] für [mm] k\in\IN.
[/mm]
Um jetzt irgendwelchen Indexschlachten zu entgehen, machen wir es einfach so:
für N < n schreibe n = N+k mit [mm] k\in\IN, [/mm] dann ist
[mm] $(b^{(i)}_n)= (b^{(i)}_{N+k})=f(b_k^{i},...,b_k_+_N_-_1^{(i)})$
[/mm]
Das ist ja im Grunde auch nur eine Formalität, es ist ja klar, was gemeint ist. Die ersten N Folgenglieder geben wir konkret vor, und die anderen seien so gewählt, dass die Folge eben in U liegt. Das ist möglich, weil für die Folgen in U keine Bedingungen an die ersten N Folgenglieder gestellt werden.
> > Setze in die Ausgangsgleichung für alle auftretenden n's n
> > = 1 ein. Was steht da?
>
> Ok, dann habe ich [mm]a_N=f(a_1,....,a_N)=\sum_{i=1}^{N} \alpha_i*a_i[/mm]
> aber ich verstehe nicht, wie mich das weiterbringt
... Und ich verstehe nicht, was du unter Ausgangsgleichung verstanden hast 
Ich meinte:
[mm] $\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] (0)_{n\in\IN}$
[/mm]
Nun setzen wir n = 1 ein:
[mm] $\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} [/mm] = 0$.
Was steht jetzt da? (siehe die Definitionen von den b's = Basisfolgen - was ist da das erste Folgenglied?)
Grüße,
Stefan
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Hallo,
>
> [mm]a_{k+N}=f(a_k,...,a_{k+N-1})[/mm] für [mm]k\in\IN.[/mm]
>
> Um jetzt irgendwelchen Indexschlachten zu entgehen, machen
> wir es einfach so:
>
> für N < n schreibe n = N+k mit [mm]k\in\IN,[/mm] dann ist
>
> [mm](b^{(i)}_n)= (b^{(i)}_{N+k})=f(b_k^{i},...,b_k_+_N_-_1^{(i)})[/mm]
>
> Das ist ja im Grunde auch nur eine Formalität, es ist ja
> klar, was gemeint ist. Die ersten N Folgenglieder geben wir
> konkret vor, und die anderen seien so gewählt, dass die
> Folge eben in U liegt. Das ist möglich, weil für die
> Folgen in U keine Bedingungen an die ersten N Folgenglieder
> gestellt werden.
> ... Und ich verstehe nicht, was du unter Ausgangsgleichung
> verstanden hast
> Ich meinte:
>
> [mm]\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} = (0)_{n\in\IN}[/mm]
Hoppla
> Nun setzen wir n = 1 ein:
>
> [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = 0[/mm].
>
> Was steht jetzt da? (siehe die Definitionen von den b's =
> Basisfolgen - was ist da das erste Folgenglied?)
Das wäre für [mm]b^{(1)}[/mm]= 1 und für alle anderen = 0, also habe ich [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = \lambda_{1}*1+\lambda_{2}*0+...+\lambda_{N}*0=\lambda_{1}=0[/mm], aber darf ich analog jeweils n=2, n=3 usw. einsetzen und somit [mm]\lambda_i=0[/mm] nachweisen?
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> > Ich meinte:
> >
> > [mm]\lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN} = (0)_{n\in\IN}[/mm]
>
> Hoppla
>
> > Nun setzen wir n = 1 ein:
> >
> > [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = 0[/mm].
>
> >
> > Was steht jetzt da? (siehe die Definitionen von den b's =
> > Basisfolgen - was ist da das erste Folgenglied?)
>
>
> Das wäre für [mm]b^{(1)}[/mm]= 1 und für alle anderen = 0, also
> habe ich [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = \lambda_{1}*1+\lambda_{2}*0+...+\lambda_{N}*0=\lambda_{1}=0[/mm],
> aber darf ich analog jeweils n=2, n=3 usw. einsetzen und
> somit [mm]\lambda_i=0[/mm] nachweisen?
Genau!
Dann hast du gezeigt, dass die Folgen linear unabhängig sind.
Nun kannst du noch zeigen, dass sie auch en Erzeugendensystem bilden, dann bist du fertig.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> >
> > Das wäre für [mm]b^{(1)}[/mm]= 1 und für alle anderen = 0, also
> > habe ich [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = \lambda_{1}*1+\lambda_{2}*0+...+\lambda_{N}*0=\lambda_{1}=0[/mm],
> > aber darf ich analog jeweils n=2, n=3 usw. einsetzen und
> > somit [mm]\lambda_i=0[/mm] nachweisen?
>
> Genau!
> Dann hast du gezeigt, dass die Folgen linear unabhängig
> sind.
> Nun kannst du noch zeigen, dass sie auch en
> Erzeugendensystem bilden, dann bist du fertig.
>
Wahrscheinlich ist jetzt wieder der Wurm drin bzgl. der Indizes, aber ich versuch's mal:
Für alle [mm](a_n_+_N)[/mm] existiert ein [mm]\lambda_i[/mm], so daß: [mm](a_n_+_N)=\summe_{k=1}^{N}\alpha_k*a_k= \summe_{i=1}^{N}\alpha_k(\lambda_i*b^{(i)}_k)=\summe_{i=1}^{N}(\alpha_k\lambda_i)*b^{(i)}_k[/mm]
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> Hallo,
>
> > >
> > > Das wäre für [mm]b^{(1)}[/mm]= 1 und für alle anderen = 0, also
> > > habe ich [mm]\lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1} = \lambda_{1}*1+\lambda_{2}*0+...+\lambda_{N}*0=\lambda_{1}=0[/mm],
> > > aber darf ich analog jeweils n=2, n=3 usw. einsetzen und
> > > somit [mm]\lambda_i=0[/mm] nachweisen?
> >
> > Genau!
> > Dann hast du gezeigt, dass die Folgen linear
> unabhängig
> > sind.
> > Nun kannst du noch zeigen, dass sie auch en
> > Erzeugendensystem bilden, dann bist du fertig.
> >
> Wahrscheinlich ist jetzt wieder der Wurm drin bzgl. der
> Indizes, aber ich versuch's mal:
>
> Für alle [mm](a_n_+_N)[/mm] existiert ein [mm]\lambda_i[/mm], so daß:
> [mm](a_n_+_N)=\summe_{k=1}^{N}\alpha_k*a_k= \summe_{i=1}^{N}\alpha_k(\lambda_i*b^{(i)}_k)=\summe_{i=1}^{N}(\alpha_k\lambda_i)*b^{(i)}_k[/mm]
Das beweist leider gar nichts [und hat leider auch vom Ansatz her nicht soviel mit dem zu tun, was wir beweisen wollen]. Zum Beweis musst du die [mm] \lambda [/mm] konkret angeben!
Wir machen folgenden Ansatz: Sei [mm] $(c_{n})_{n\in\IN} \in [/mm] U$ beliebig.
Wir müssen nun [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{N}\in [/mm] K finden, so dass
[mm] $(c_{n})_{n\in\IN} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN}$,
[/mm]
bzw. so dass
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Nun überlege: Wie müssen [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{N} [/mm] wohl aussehen? Um darauf zu kommen, kannst du analog zum Unabhängigkeitsbeweis mal n = 1, 2, ..., N einsetzen!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> > >
> > > Genau!
> > > Dann hast du gezeigt, dass die Folgen linear
> > unabhängig
> > > sind.
> > > Nun kannst du noch zeigen, dass sie auch en
> > > Erzeugendensystem bilden, dann bist du fertig.
> > >
> > Wahrscheinlich ist jetzt wieder der Wurm drin bzgl. der
> > Indizes, aber ich versuch's mal:
> >
> > Für alle [mm](a_n_+_N)[/mm] existiert ein [mm]\lambda_i[/mm], so daß:
> > [mm](a_n_+_N)=\summe_{k=1}^{N}\alpha_k*a_k= \summe_{i=1}^{N}\alpha_k(\lambda_i*b^{(i)}_k)=\summe_{i=1}^{N}(\alpha_k\lambda_i)*b^{(i)}_k[/mm]
>
> Das beweist leider gar nichts [und hat leider auch vom
> Ansatz her nicht soviel mit dem zu tun, was wir beweisen
> wollen]. Zum Beweis musst du die [mm]\lambda[/mm] konkret angeben!
>
> Wir machen folgenden Ansatz: Sei [mm](c_{n})_{n\in\IN} \in U[/mm]
> beliebig.
> Wir müssen nun [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{N}\in[/mm] K finden,
> so dass
>
> [mm](c_{n})_{n\in\IN} = \lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN}[/mm],
>
> bzw. so dass
>
> [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Nun überlege: Wie müssen [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{N}[/mm] wohl
> aussehen? Um darauf zu kommen, kannst du analog zum
> Unabhängigkeitsbeweis mal n = 1, 2, ..., N einsetzen!
[mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
Sei n=1, dann ist [mm]c_{1} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1}=\lambda_1*1+\lambda_2*0+...+\lambda_N*0=\lambda_1[/mm] und analog für n=2, n=3 usw. Da [mm]\lambda_1,...,\lambda_N[/mm] ja beliebig aus [mm]IR[/mm] wählbar sind, kann ich mir jedes Folgeglied von [mm](c_n)[/mm] mit den "Basisfolgen" bauen. Das geht für jedes beliebige Folgeglied jeder beliebigen Folge aus U und somit sind die "Basisfolgen" ein Erzeugendensystem?
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> > Wir machen folgenden Ansatz: Sei [mm](c_{n})_{n\in\IN} \in U[/mm]
> > beliebig.
> > Wir müssen nun [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{N}\in[/mm] K
> finden,
> > so dass
> >
> > [mm](c_{n})_{n\in\IN} = \lambda_{1}*(b^{(1)}_{n})_{n\in\IN} + ... + \lambda_{N}*(b^{(N)}_{n})_{n\in\IN}[/mm],
>
> >
> > bzw. so dass
> >
> > [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> >
> > Nun überlege: Wie müssen [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{N}[/mm] wohl
> > aussehen? Um darauf zu kommen, kannst du analog zum
> > Unabhängigkeitsbeweis mal n = 1, 2, ..., N einsetzen!
>
> [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Sei n=1, dann ist [mm]c_{1} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1}=\lambda_1*1+\lambda_2*0+...+\lambda_N*0=\lambda_1[/mm]
> und analog für n=2, n=3 usw. Da [mm]\lambda_1,...,\lambda_N[/mm] ja
> beliebig aus [mm]IR[/mm] wählbar sind, kann ich mir jedes
> Folgeglied von [mm](c_n)[/mm] mit den "Basisfolgen" bauen.
Wir wissen also: Wenn wir die Folge [mm] (c_{n}) [/mm] darstellen wollen mit Hilfe der Basisfolgen, muss [mm] $\lambda_{i} [/mm] = [mm] c_{i}$ [/mm] gewählt werden. Damit wissen wir (um mal ein bisschen kleinkariert zu sein) aber erst, dass die Folgen in den ersten N Folgengliedern übereinstimmen.
Warum stimmen sie auch in den restlichen Folgengliedern überein?
Wenn du das noch begründen kannst, bist du fertig
Grüße,
Stefan
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Hallo,
> >
> > [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> >
> > Sei n=1, dann ist [mm]c_{1} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1}=\lambda_1*1+\lambda_2*0+...+\lambda_N*0=\lambda_1[/mm]
> > und analog für n=2, n=3 usw. Da [mm]\lambda_1,...,\lambda_N[/mm] ja
> > beliebig aus [mm]IR[/mm] wählbar sind, kann ich mir jedes
> > Folgeglied von [mm](c_n)[/mm] mit den "Basisfolgen" bauen.
>
> Wir wissen also: Wenn wir die Folge [mm](c_{n})[/mm] darstellen
> wollen mit Hilfe der Basisfolgen, muss [mm]\lambda_{i} = c_{i}[/mm]
> gewählt werden. Damit wissen wir (um mal ein bisschen
> kleinkariert zu sein) aber erst, dass die Folgen in den
> ersten N Folgengliedern übereinstimmen.
> Warum stimmen sie auch in den restlichen Folgengliedern
> überein?
> Wenn du das noch begründen kannst, bist du fertig
Das sagt mir doch die Definition von U, mit [mm]a_n_+_N=f(a_n,...,a_n_+_N_-_1)[/mm] kann ich beliebige [mm]a_n_+_N[/mm], auf eine Summe der ersten N Folgeglieder zurückführen und somit stimmen auch die restlichen Folgeglieder überein.
Liebe Grüße Hanna
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Hallo,
> Hallo,
>
> > >
> > > [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> > > für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> > >
> > > Sei n=1, dann ist [mm]c_{1} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1}=\lambda_1*1+\lambda_2*0+...+\lambda_N*0=\lambda_1[/mm]
> > > und analog für n=2, n=3 usw. Da [mm]\lambda_1,...,\lambda_N[/mm] ja
> > > beliebig aus [mm]IR[/mm] wählbar sind, kann ich mir jedes
> > > Folgeglied von [mm](c_n)[/mm] mit den "Basisfolgen" bauen.
> >
> > Wir wissen also: Wenn wir die Folge [mm](c_{n})[/mm] darstellen
> > wollen mit Hilfe der Basisfolgen, muss [mm]\lambda_{i} = c_{i}[/mm]
> > gewählt werden. Damit wissen wir (um mal ein bisschen
> > kleinkariert zu sein) aber erst, dass die Folgen in den
> > ersten N Folgengliedern übereinstimmen.
> > Warum stimmen sie auch in den restlichen Folgengliedern
> > überein?
> > Wenn du das noch begründen kannst, bist du fertig
>
> Das sagt mir doch die Definition von U, mit
> [mm]a_n_+_N=f(a_n,...,a_n_+_N_-_1)[/mm] kann ich beliebige [mm]a_n_+_N[/mm],
> auf eine Summe der ersten N Folgeglieder zurückführen und
> somit stimmen auch die restlichen Folgeglieder überein.
Genau
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank für die Geduld!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:04 Mo 07.06.2010 | | Autor: | couldbeworse |
> Hallo,
>
> > >
> > > [mm]c_{n} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{n} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{n}[/mm]
> > > für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> > >
> > > Sei n=1, dann ist [mm]c_{1} = \lambda_{1}*b^{(1)}_{1} + ... + \lambda_{N}*b^{(N)}_{1}=\lambda_1*1+\lambda_2*0+...+\lambda_N*0=\lambda_1[/mm]
> > > und analog für n=2, n=3 usw. Da [mm]\lambda_1,...,\lambda_N[/mm] ja
> > > beliebig aus [mm]IR[/mm] wählbar sind, kann ich mir jedes
> > > Folgeglied von [mm](c_n)[/mm] mit den "Basisfolgen" bauen.
> >
> > Wir wissen also: Wenn wir die Folge [mm](c_{n})[/mm] darstellen
> > wollen mit Hilfe der Basisfolgen, muss [mm]\lambda_{i} = c_{i}[/mm]
> > gewählt werden. Damit wissen wir (um mal ein bisschen
> > kleinkariert zu sein) aber erst, dass die Folgen in den
> > ersten N Folgengliedern übereinstimmen.
> > Warum stimmen sie auch in den restlichen Folgengliedern
> > überein?
> > Wenn du das noch begründen kannst, bist du fertig
>
> Das sagt mir doch die Definition von U, mit
> [mm]a_n_+_N=f(a_n,...,a_n_+_N_-_1)[/mm] kann ich beliebige [mm]a_n_+_N[/mm],
> auf eine Summe der ersten N Folgeglieder zurückführen und
> somit stimmen auch die restlichen Folgeglieder überein.
>
> Liebe Grüße Hanna
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