Dimension, Rang, Kern, Bild < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 25.01.2015 | | Autor: | Stef99 |
Hallo,
ich schreibe bald eine Klausur an der Uni im Bereich Lineare Algebra I, dafür muss ich u.a. über den Kern, die Dimension, den Rang und das Bild bescheid wissen, versteh dies aber irgendwie nicht :( . Kann mir irgendwer von euch helfen, dies möglichst einfach zu erklären und vor allem Zusammenhänge aufzuzeigen?
Vielen Dank im voraus! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 25.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Stef99,
du solltest deine Frage unbedingt konkretisieren! Wir können hier leider nicht das Wissen eines Großteils deiner Vorlesung wiederholen.
Hier ein paar Stichpunkte:
Die Dimension eines K-Vektorraumes V ist die Anzahl der Elemente seiner Basis.
Zu einer Basis sollte man außer der Definition vielleicht den  Austauschsatz von Steinitz kennen. In dem Artikel habe ich auch ein Beispiel zur Basisergänzung hineingepackt.
Zum ![[]](/images/popup.gif) Bild und Kern linearer Abbildungen sollte man die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] W$ mit [mm] $dim(V)<\infty$ [/mm] kennen (erinnere dich auch an die Dimensionsformel für Matrizen):
$$dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f))$$ Ferner muss man zum Kern wissen, dass z.B. so was wie folgendes gilt:
[mm] $f:V\to [/mm] W$ linear [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($f$ injektiv [mm] $\gdw Ker(f)=\{0\})$
[/mm]
Definition (Rang) : $Rang(f)=dim(Im(f))$ mit f lineare Abb.
Für eine mxn-Matrix A definiert man den $Zeilenrang(A)=: dim(Span(Zeilen(A))$ und den $Spaltenrang(A):= [mm] dim(Im(L_A))=dim(Span(Spalten(A)))$ [/mm] mit [mm] L_A [/mm] zu A gehörige lineare Abbildung. Es gilt: $Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A)=:Rang(A)$.
Man kann zeigen: [mm] $f:V\to [/mm] W$ lineare Abb., [mm] v_1,...,v_n [/mm] Basis von V, [mm] w_1,...,w_m [/mm] Basis von W und [mm] A:=Mat(f)_w^v. [/mm] Dann gilt:
f injektiv [mm] \gdw Rang(A)=n\gdw Ker(A)=\{0\}
[/mm]
f surjektiv [mm] \gdw [/mm] $Rang(A)=m$
f bijektiv [mm] \gdw [/mm] $Rang(A)=n=m$ [mm] \gdw [/mm] Spaltenvektoren von A sind Basis vom [mm] K^m.
[/mm]
usw.
Wie gesagt, sind das nur Notizen von m.E. elementaren Erkenntnissen zu Bild, Kern, Rang und Dimension. Stell evtl. konkretere Fragen und schau noch mal in dein Skript.
LG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Stef99 |
Vielen Dank schon mal für die ganzen Informationen. Du hast recht, das ist total unkonkret.
Um mal eben zu erklären, wie diese Frage bei mir überhaupt zustande gekommen ist: Der Beweis Rang (A+B) [mm] \le [/mm] Rand (A) + Rang (B) hat mich zum Nachdenken angeregt.
Rang (A) "ist dann plötzlich" = dim Bild (A+B) ... Ist das z.B. generell so der Fall? Also worauf ich genau hinaus will: Gibt es Beziehungen zwischen Rang, Kern, Dimension und Bild, die (normalerweise) immer gelten, die ich auf jeden Fall für meine Klausur wissen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mo 26.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schon mal für die ganzen Informationen. Du
> hast recht, das ist total unkonkret.
> Um mal eben zu erklären, wie diese Frage bei mir
> überhaupt zustande gekommen ist: Der Beweis Rang (A+B) [mm]\le[/mm]
> Rand (A) + Rang (B) hat mich zum Nachdenken angeregt.
> Rang (A) "ist dann plötzlich" = dim Bild (A+B) ... Ist das
> z.B. generell so der Fall? Also worauf ich genau hinaus
> will: Gibt es Beziehungen zwischen Rang, Kern, Dimension
> und Bild, die (normalerweise) immer gelten, die ich auf
> jeden Fall für meine Klausur wissen sollte?
Das hat doch Ladon geschrieben:
$ dim(V)=dim(Ker(f))+dim(Im(f)) $
FRED
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Hallo,
ergänzend zu Ladon:
falls es um
> Kern, die
> Dimension, den Rang und das Bild
von Matrizen geht,
poste Deine Matrix, bring sie auf Zeilenstufenform.
Daran kann man dann erklären, wie man alles bestimmt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Hey,
ich habe wie du meine Klausur letzten Samstag geschrieben.
Dabei habe ich zur Klausurvorbereitung das Buch "Analysis 1 (Studenten erklären Studenten)" vom Springer Verlag.
Wenn du nach dem Titel + mathematikwelt googlest, findest du kostenlos das Buch als PDF.
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