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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Anja86 |
| Aufgabe | U,W [mm] \subset \IR^4 [/mm] seien die folgenden Unterräume:
U:= [mm] {(a,b,c,d)^t \in \IR^4|b+c+d=0},
[/mm]
W:= [mm] {(a,b,c,d)^t \in \IR^4|a+b=0,c=2d}
[/mm]
Bestimme Dimension und Basis von
a) U,
b) w,
c) U [mm] \cap [/mm] W |
Hallo!
verstehe gerade nicht ganz wie man nur aus den Angaben b+c+d=0 bzw a+b=0, c=2d die Dimension und Basis bestimmen soll. Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar.
Vielen Dank im vorraus!!
Anja
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> U,W [mm]\subset \IR^4[/mm] seien die folgenden Unterräume:
> U:= [mm]{(a,b,c,d)^t \in \IR^4|b+c+d=0},[/mm]
> W:= [mm]{(a,b,c,d)^t \in \IR^4|a+b=0,c=2d}[/mm]
>
> Bestimme Dimension und Basis von
> a) U,
> b) w,
> c) U [mm]\cap[/mm] W
> Hallo!
> verstehe gerade nicht ganz wie man nur aus den Angaben
> b+c+d=0
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
In U:= [mm] \{(a,b,c,d)^t \in \IR^4|b+c+d=0\} [/mm] sind also die [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}, [/mm] welche die Gleichung b+c+d=0 lösen.
Welche a,b,c,d sind das ?
Nun, a kommt in der Gleichung gar nicht vor.
a kann man also völlig beliebig wählen, [mm] a=\lambda [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR.
[/mm]
Welche Bedingungen gibt's an den Rest? Gar nicht so viele! c und d kann man frei wählen, [mm] c=\mu, d=\nu, [/mm] nur das b muß dann passen [mm] b=-\mu- \nu.
[/mm]
Also [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d}=\vektor{\lambda \\-\mu- \nu \\ \mu \\ \nu}
[/mm]
[mm] =\lambda\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -1 \\ 1\\ 0}+\nu\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die drei Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 1\\ 0}, \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm] spannen den Raum U auf.
Eine Basis hat man, wenn man eine größtmögliche linear unabhängige Teilmenge hiervon hat.
Wenn Du's verstanden hast, versuch Dich in ähnlicher Manier an W.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Anja86 |
Vielen Dank für diese schnelle Antwort! Ist ja eigentlich ganz einfach. Hab wiedermal viel zu kompliziert gedacht. Ich versuch mich gleich mal an der b und c.
Gruß
Anja
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