Dimension + Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie die Dimension und jeweils eine Basis aus [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] und [mm] U_{1} \cap U_{2}
[/mm]
|
Mein [mm] U_{1} [/mm] besteht aus 2 Vektoren, mein [mm] U_{2} [/mm] aus 3 Vektoren.
Ich bin wie folgt folgegangen um [mm] U_{1} [/mm] + [mm] U_{2} [/mm] zu berechnen.
Ich habe wieder ein lineares Gleichungssystem mit allen 5 Vektoren aufgestellt und gelöst. Da sie linear abhängig waren, habe ich nun einen beliebigen Vektor gestrichen. Und erneut ein Gleichungssystem mit den übrigen 4 Vektoren aufgestellt.
Auch diese waren linear abhängig. Es wurde wieder einer gestrichen und das ganze von vorne gemacht - mit den restlichen 3 Vektoren.
Diese waren nun endlich linear unabhängig :)
Demnach ist meine Basis doch meine letzte Rechnung, sprich meine letzten 3 Vektoren die linear unabhängig sind, richtig?
Unter Dimension versteht man ja die Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Meine Diemension wäre also 3, da 4 bzw. 5 Vektoren immer linear abhängig waren. Stimmt das soweit?
Und meine letzte Frage : Wenn ich [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] berechnen soll, wie gehe ich denn dann vor?
Ich muss auch wieder ein LGS aufstellen, aber mit welchen Vektoren, bzw. wie komme ich auf die Vektoren mit denen ich es aufstellen muss?
DANKE :=)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 01.02.2006 | | Autor: | alx3400 |
Zu dem ersten Teil:
Das scheint soweit richtig zu sein, ich glaube aber es wäre einfacher gewesen, von den 5 Vektoren zunächst den Rang zu bestimmen, dann hätte man sofort gewusst, wie viele der 5 Vektoren l.u. sind.
Zum 2. Teil:
v [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] bedeutet, dass sich v als Linearkombination beider Basen darstellen lässt, also:
[mm] v=a*u1_{1} [/mm] + [mm] b*u1_{2} [/mm] = [mm] c*u2_{1} [/mm] + [mm] d*u2_{2} [/mm] + [mm] e*u2_{3}
[/mm]
Es folgt:
0 = [mm] a*u1_{1} [/mm] + [mm] b*u1_{2} [/mm] - [mm] c*u2_{1} [/mm] - [mm] d*u2_{2} [/mm] - [mm] e*u2_{3}
[/mm]
Nun kann man das Homogenen Gleichungssystem aufstellen (auf die Vorzeichen achten) und es auf eine Form bringen, dass oben links in der Matrix die Einheitsmatrix steht. Rechts müsste dann der Lösungsraum stehen.
Wäre gut, wenn mir einer die Lösung bestätigen könnte. So ganz 100 prozentig bin ich mir da auch nicht sicher.
|
|
|
|
