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| Aufgabe | Über den Untervektorraum U [mm] \subseteq \IR^7 [/mm] ist nur bekannt, dass dim(U)=4 ist.
Weisen Sie nach: es gibt einen UVR W [mm] \subseteq \IR^7 [/mm] mit U+W= [mm] \IR^7 [/mm] und dim(U [mm] \cap [/mm] W) = 2. |
Hier muss ich ja bestimmt die Dimensionsformel anwenden.
dim(U+W) + dim (U [mm] \cap [/mm] W) = dim(U) + dim(W)
Aber wie weise ich die Existenz von W nach?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Über den Untervektorraum U [mm]\subseteq \IR^7[/mm] ist nur
> bekannt, dass dim(U)=4 ist.
> Weisen Sie nach: es gibt einen UVR W [mm]\subseteq \IR^7[/mm] mit
> U+W= [mm]\IR^7[/mm] und dim(U [mm]\cap[/mm] W) = 2.
> Hier muss ich ja bestimmt die Dimensionsformel anwenden.
>
> dim(U+W) + dim (U [mm]\cap[/mm] W) = dim(U) + dim(W)
>
> Aber wie weise ich die Existenz von W nach?
Nach der Dimensionsformel ist [mm] $\dim [/mm] W = [mm] 7+2-4=5\,.$ [/mm] Gib also fünf Basisvektoren von W an. Ergänze hierzu die Basis von U zu einer Basis von [mm] $\IR^7$ [/mm] mit drei weiteren Vektoren. Mit zwei Basisvektoren von U und den drei neuen Vektoren erhältst Du eine Basis eines Vektorraums W mit den gewünschten Eigenschaften.
Gruß,
Wolfgang
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| Aufgabe | Basis von U z.B.: [mm] e_1 [/mm] bis [mm] e_4 [/mm] mit [mm] e_1 [/mm] =(1,0,0,0,0,0,0) usw.
Ergänze [mm] e_5 [/mm] bis [mm] e_7. [/mm] erhalte damit Basis des [mm] \IR^7
[/mm]
dann nehme ich [mm] e_1, e_2, e_5 [/mm] bis [mm] e_7 [/mm] und habe Basis von W? |
Ich habe doch aber "nur" die Dimension von W=5. Soll ich irgendwelche Basisvektoren mit 7 Koordinaten nehmen, also meinetwegen die ersten 5 Standardbasisvektoren. Diese bilden ja auf jeden Fall eine Basis von W.
Nun versteh ich den zweiten Teil deiner Antwort noch nicht ganz...
Hier ist wohl der Basisergänzungssatz gemeint, oder?
Ich soll also zum Beispiel 4 Standardbasisvektoren mit 3 weiteren zu einer Basis des [mm] \IR^7 [/mm] ergänzen?
Dann wähle ich die ersten beiden Standardbasisvektoren von U und die 3, die ich ergänzt habe und habe damit eine Basis von W mit den gewünschten Eigenschaften?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas,
> Basis von U z.B.: [mm]e_1[/mm] bis [mm]e_4[/mm] mit [mm]e_1[/mm] =(1,0,0,0,0,0,0)
> usw.
> Ergänze [mm]e_5[/mm] bis [mm]e_7.[/mm] erhalte damit Basis des [mm]\IR^7[/mm]
> dann nehme ich [mm]e_1, e_2, e_5[/mm] bis [mm]e_7[/mm] und habe Basis von
> W?
> Ich habe doch aber "nur" die Dimension von W=5. Soll ich
> irgendwelche Basisvektoren mit 7 Koordinaten nehmen, also
> meinetwegen die ersten 5 Standardbasisvektoren. Diese
> bilden ja auf jeden Fall eine Basis von W.
Die bilden zwar eine Basis eines 5-dimensionalen Vektorraumes, aber der hat nicht die in der Aufgabe verlangten Eigenschaften. Wir wissen aus der Dimensionsformel nur, daß unser W die Dimension 5 hat, aber wir kennen noch keine Basis!
>
> Nun versteh ich den zweiten Teil deiner Antwort noch nicht
> ganz...
> Hier ist wohl der Basisergänzungssatz gemeint, oder?
> Ich soll also zum Beispiel 4 Standardbasisvektoren mit 3
> weiteren zu einer Basis des [mm]\IR^7[/mm] ergänzen?
Nein! Sondern 4 Basisvektoren von U mit 3 weiteren ergänzen.
>
> Dann wähle ich die ersten beiden Standardbasisvektoren von
> U und die 3, die ich ergänzt habe und habe damit eine
> Basis von W mit den gewünschten Eigenschaften?
Nein! Bei Deinem Verfahren ist [mm] $\dim U\cap [/mm] V$ im allgemeinen nicht =2. Bei meinem Verfahren dagegen schon, was Du Dir vielleicht überlegen solltest.
Gruß,
Wolfgang
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Naja aber soll ich mir die Basisvektoren aus dem Finger saugen?...
dim(U)=4 also 4 Basisvektoren, aber welche...? i.welche? Ich mein es gibt ja genügend Basen...
Und mit 3 weiteren ergänzen... wieso darf ich da keine Standardbasisvektoren nehmen???
Naja und nun soll ich meine zwei ausgedachten Basisvektoren von U mit drei ausgedachten Basisvektoren von [mm] \IR^7 [/mm] zu einer Basis von W machen?
Also gibt es rein theoretisch da ja hunderte Möglichkeiten...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Naja aber soll ich mir die Basisvektoren aus dem Finger
> saugen?...
> dim(U)=4 also 4 Basisvektoren, aber welche...? i.welche?
> Ich mein es gibt ja genügend Basen...
Du mußt nicht wissen, welche das sind. Sondern nur, daß es vier sind. Das ist ja gerade die Herausforderung der Mathematik: So bewies Euklid den Satz des Pythagoras für jedes rechtwinklige Dreieck, und nicht nur ein bestimmtes. Und Du mußt jetzt zeigen, daß es so ein W für jedes vierdimensionale U gibt, nicht nur für eines.
Die Sätze der linearen Algebra gelten ja auch für alle Vektorräume, nicht nur für [mm] $\IR^3$.
[/mm]
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> Und mit 3 weiteren ergänzen... wieso darf ich da keine
> Standardbasisvektoren nehmen???
Die könnten ja in U liegen. Aber Du brauchst drei linear unabhängige Vektoren, die nicht in U liegen, und die liefert Dir der Basisergänzungssatz.
>
> Naja und nun soll ich meine zwei ausgedachten Basisvektoren
> von U mit drei ausgedachten Basisvektoren von [mm]\IR^7[/mm] zu
> einer Basis von W machen?
Genau! Dann hast Du $W = [mm] \langle u_1, u_2, v_1, v_2, v_3\rangle\,.$ [/mm] (Hierbei sind [mm] $u_1, u_2$ [/mm] zwei Basisvektoren von U und [mm] $v_1, v_2, v_3$ [/mm] die Basisvektoren der Ergänzung.
> Also gibt es rein theoretisch da ja hunderte
> Möglichkeiten...
Nein! Viel, viel mehr, sogar mehr als es natürliche Zahlen gibt! Und alle diese vielen Fälle hast Du erschlagen! Toll, oder?
Gruß,
Wolfgang
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