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| Aufgabe | K[t][mm] _{\le 3} [/mm] = [p [mm] \in [/mm] K[t], deg(p) [mm] \le [/mm] 3]
[mm] U_{1} [/mm] = {t, [mm] t^2+2t, t^2+3t+1, t^3 [/mm] }
[mm] U_{2} [/mm] = {1, t, [mm] t+t^2, t^2+t^3 [/mm] }
[mm] U_{3} [/mm] = {t, [mm] t^2-t, t^2+t, t^3 [/mm] }
Berechnen Sie die Dimensionen der von den Elementen von [mm] U_{1}, U_{2}, U_{3} [/mm] aufgespannten Unterräume. Welcher dieser Mengen bildet eine Basis von K[t][mm] _{\le 3}? [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
Zuerst was bedeudet genau dieses deg(p)?
Dann muss ich ja die Dimension herausfinden. Ist dass dann nicht der Rang??
Soll ich [mm] U_{1}, U_{2}, U_{3} [/mm] in eine Matrix umwandeln und dann den Rang austrechnen?
Und wie ist es mit der Basis?
Danke schonmal für die Hilfe :)
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> K[t][mm] _{\le 3}[/mm] = [p [mm]\in[/mm] K[t], deg(p) [mm]\le[/mm] 3]
>
> [mm]U_{1}[/mm] = t, [mm]t^2+2t, t^2+3t+1, t^3[/mm]
> [mm]U_{2}[/mm] = 1, t, [mm]t+t^2, t^2+t^3[/mm]
> [mm]U_{3}[/mm] = t, [mm]t^2-t, t^2+t, t^3[/mm]
>
> Berechnen Sie die Dimensionen der von den Elementen von [mm]U_{1}, U_{2}, U_{3}[/mm] aufgespannten Unterräume. Welcher dieser Mengen bildet eine Basis von K[t][mm] _{\le 3}?[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Zuerst was bedeudet genau dieses deg(p)?
sieh mal in deinem Skript nach.
>
> Dann muss ich ja die Dimension herausfinden. Ist dass dann nicht der Rang??
ja.
Rang = Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren und Spaltenvektoren.
Ermittelst du mithilfe des Gauß'schen Eliminationsverfahrens.
> Soll ich [mm]U_{1}, U_{2}, U_{3}[/mm] in eine Matrix umwandeln und dann den Rang austrechnen?
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> Und wie ist es mit der Basis?
die sollst du auch ermitteln.
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> Danke schonmal für die Hilfe :)
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PS: Dein [mm] deg(p)\le [/mm] 3 bedeutet dass der Grad deines Polynoms [mm] \le [/mm] 3 ist.
sprich max [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx
[/mm]
deg kommt vom englischen Begriff degree also Grad.
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Aber ist das mir der Matrix nicht zu aufwendig???
Wie wissen ja dass die Elemente in [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] lin. unabh.
sind.
Kann ich nicht irgendwie argumentieren, dass die Dimension von den 3 Unterräume aufgespannt gleich 4 ist????
Und alle diese Mengen eine Basis von K[t] bilden???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber ist das mir der Matrix nicht zu aufwendig???
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> Wie wissen ja dass die Elemente in [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] und [mm]U_{3}[/mm]
> lin. unabh.
> sind.
Ach ja ? Manchmal weiß man Sachen, die gar nicht stimmen.
> Kann ich nicht irgendwie argumentieren, dass die Dimension
> von den 3 Unterräume aufgespannt gleich 4 ist????
Das stimmt nicht
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> Und alle diese Mengen eine Basis von K[t] bilden???
Das stimmt auch nicht
FRED
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Sind die Elemente in [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] nicht lin. unab.?
Ich hab das mit z.B. für [mm] U_{1} [/mm] diese Gleichung aufgestellt:
[mm] \lambda_{1}(t) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(t^2+2t) [/mm] + [mm] \lambda_{3}(t^2+3t+1) [/mm] + [mm] \lambda_{4}(t^3) [/mm] = 0
Dann [mm] t^3, t^2, [/mm] t, [mm] t^0 [/mm] ausklammern... Koffizentenvergleich.
Dann folgt [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0
[/mm]
Wie soll ich denn bei der Dimension vorgehen???
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Moin mathestudent11,
> Sind die Elemente in [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] und [mm]U_{3}[/mm] nicht lin. unab.?
Das musst du einzeln prüfen.
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> Ich hab das mit z.B. für [mm]U_{1}[/mm] diese Gleichung aufgestellt:
>
> [mm]\lambda_{1}(t)[/mm] + [mm]\lambda_{2}(t^2+2t)[/mm] + [mm]\lambda_{3}(t^2+3t+1)[/mm] + [mm]\lambda_{4}(t^3)[/mm] = 0
>
> Dann [mm]t^3, t^2,[/mm] t, [mm]t^0[/mm] ausklammern... Koffizentenvergleich.
> Dann folgt [mm]\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=0[/mm]
Ja, in diesem Fall. Dann ist hier auch die Dimension 4, da du 4 linear unabhängige Vektoren hast.
Jetzt überprüfe die anderen Fälle. In [mm] U_3 [/mm] sehe ich z. B. sofort, dass die ersten drei Vektoren linear abhängig sind.
LG
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Ich habe bei [mm] U_{3} [/mm] auch lin. unabh.:
[mm] \Rightarrow \lambda_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}(t^2t) [/mm] + [mm] \lambda_{3}(t^2+t) [/mm] + [mm] \lambda_{4}(t^3)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow t^3(\lambda_{4}) [/mm] + [mm] t^2(\lambda_{2}+\lambda_{3}) [/mm] + [mm] t(-\lambda_{2}+\lambda_{3}) [/mm] + [mm] t^0(\lambda_{1}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{4} [/mm] = 0 und [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
[mm] -\lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
Stimmt meine Rechnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 30.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe bei [mm]U_{3}[/mm] auch lin. unabh.:
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}(t^2t)[/mm] + [mm]\lambda_{3}(t^2+t)[/mm] + [mm]\lambda_{4}(t^3)=0[/mm]
???? Es war doch
$ [mm] U_{3} [/mm] = [mm] \{t, t^2-t, t^2+t, t^3 \} [/mm] $ !!!
Also muß der Ansatz lauten:
[mm] \lambda_{1}t[/mm] + [mm]\lambda_{2}(t^2-t)[/mm] + [mm]\lambda_{3}(t^2+t)[/mm] + [mm]\lambda_{4}(t^3)=0[/mm]
Und das gilt z.B. für [mm] \lambda_1=2, \lambda_2=1, \lambda_3=-1 [/mm] und [mm] \lambda_4=0
[/mm]
FRED
>
> [mm]\Rightarrow t^3(\lambda_{4})[/mm] + [mm]t^2(\lambda_{2}+\lambda_{3})[/mm]
> + [mm]t(-\lambda_{2}+\lambda_{3})[/mm] + [mm]t^0(\lambda_{1})[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{4}[/mm] = 0 und [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
> [mm]-\lambda_{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
>
> Stimmt meine Rechnung?
>
>
>
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Oh Sorry.
[mm] U_{3} [/mm] = {1, [mm] t^2-t, t^2+t, t^3 [/mm] } und nicht [mm] U_{3} [/mm] = {t, [mm] t^2-t, t^2+t, t^3 [/mm] } !!!
Sind dann die Elemente in [mm] U_{3} [/mm] lin. unabh.??
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Hallo mathestudent111,
> Oh Sorry.
> [mm]U_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {1, [mm]t^2-t, t^2+t, t^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und nicht [mm]U_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {t,[mm]t^2-t, t^2+t, t^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} !!!
>
> Sind dann die Elemente in [mm]U_{3}[/mm] lin. unabh.??
Ja!
Gruß
schachuzipus
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Kann ich jetzt nicht sagen, dass die Dimension von den 3 Unterräume aufgespannt gleich 4 ist????
Und alle diese Mengen eine Basis von K[t] bilden???
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Hallo nochmal,
> Kann ich jetzt nicht sagen, dass die Dimension von den 3
> Unterräume aufgespannt gleich 4 ist????
Wenn das für [mm] $U_2$ [/mm] auch gezeigt ist (habe ich nicht im thread gefunden), dann ja!
>
> Und alle diese Mengen eine Basis von K[t] bilden???
Naja, welche Dimension hat denn [mm] $\IK[/mm] [t][mm] _{\le 3}$ [/mm] ?
Reicht da schon lineare Unabh. der Vektoren in [mm] $U_i$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ich hab nochmal [mm] U_{2} [/mm] ausgerechnet... lin. unab.!!
Also ist ja die Dimension von [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] und [mm] U_{3} [/mm] aufgespannt gleich 4.
Dimension K[t][mm] _{\le 3}: [/mm] Muss die nicht gleich 4 sein, weil die Dimension eines n-ten Polynom (also hier 3) gleich n+1 ist.
Stimmt das???
Reicht da nicht die lin. unb. der Vektoren [mm] U_{i}?? [/mm]
Oder brauch ich noch eine Basis? Weil Dimension K[t][mm] _{\le 3}=4 [/mm] und ich brauch ja 4 Basen...???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Sa 02.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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