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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe ein paar Probleme bei der Dimension von [mm] \IC [/mm] .
Wir haben hier zwei Beispiele:
a) [mm] dim_{\IR}(\IC)=dim_{\IR}(\IR^2)=2 [/mm] da $1,i [mm] \in \IC$ [/mm] bilden [mm] \IR-Basis.
[/mm]
Das verstehe ich.
Für [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] bilden 1 und i eine Basis von [mm] \IC [/mm] , also habe ich zwei Basisvektoren, und damit ist die Dimension 2.
b) [mm] dim_{\IC}(\IC)=1
[/mm]
Das verstehe ich nicht.
Ich weiß nur, dass für [mm] \IC [/mm] als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] 1 und i keine Basis bilden.
Aber wie die Basis von [mm] \IC [/mm] als [mm] \IC-Vektorraum [/mm] aussieht weiß ich nicht, deshalb weiß ich nicht, warum die Dimension 1 ist.
Dann habe ich noch eine Frage zur Dimension von [mm] \IR [/mm] :
Mein Beispiel hier lautet: [mm] dim_{\IR}(\IR)=1.
[/mm]
Bei [mm] \IR [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist mir das klar, weil jedes Element aus [mm] \IR [/mm] alleine eine Basis ist.
Meine Frage hier ist: Kann [mm] \IR [/mm] ein [mm] \IC-Vektorraum [/mm] sein, und wenn ja, wie wäre dann die Dimension?
[Ich frage, weil K im K-Vektorraum kann ja jeder beliebige Körper sein,
aber ich habe in meiner Vorlesung oder auch sonstwo noch keinen [mm] \IC-Vektorraum \quad \IR [/mm] gesehen.]
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo zusammen!
>
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>
> Ich habe ein paar Probleme bei der Dimension von [mm]\IC[/mm] .
>
> Wir haben hier zwei Beispiele:
>
> a) [mm]dim_{\IR}(\IC)=dim_{\IR}(\IR^2)=2[/mm] da [mm]1,i \in \IC[/mm] bilden
> [mm]\IR-Basis.[/mm]
>
> Das verstehe ich.
Gut!
>
> Für [mm]\IC[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] bilden 1 und i eine Basis von
> [mm]\IC[/mm] , also habe ich zwei Basisvektoren, und damit ist die
> Dimension 2.
Genau!
>
> b) [mm]dim_{\IC}(\IC)=1[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht.
> Ich weiß nur, dass für [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC-Vektorraum[/mm] 1 und i
> keine Basis bilden.
Beide zusammen nicht, aber jedes für sich schon:
Es ist [mm] $1\in\IC$ [/mm] (dem Vektorraum), und du kannst jeden Vektor [mm] $z\in\IC$ [/mm] doch durch Multiplikation von Skalaren aus dem Körper [mm] $\IC$ [/mm] mit der $1$ aus dem VR [mm] $\IC$ [/mm] erzeugen ...
Ebenso tut es jedes andere Element aus dem VR [mm] $\IC$ [/mm] als Basis ...
Du kannst ja beliebige Skalare aus dem Körper [mm] $\IC$ [/mm] dranmultiplizieren und erhältst so jede komplexe Zahl (gesehen als Vektor aus dem VR [mm] $\IC$)
[/mm]
> Aber wie die Basis von [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC-Vektorraum[/mm] aussieht
> weiß ich nicht, deshalb weiß ich nicht, warum die
> Dimension 1 ist.
siehe oben
>
>
> Dann habe ich noch eine Frage zur Dimension von [mm]\IR[/mm] :
>
> Mein Beispiel hier lautet: [mm]dim_{\IR}(\IR)=1.[/mm]
>
> Bei [mm]\IR[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist mir das klar, weil jedes
> Element aus [mm]\IR[/mm] alleine eine Basis ist.
Genau das klappt für [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IC$-VR [/mm] doch genauso!
>
> Meine Frage hier ist: Kann [mm]\IR[/mm] ein [mm]\IC-Vektorraum[/mm] sein, und
> wenn ja, wie wäre dann die Dimension?
>
> [Ich frage, weil K im K-Vektorraum kann ja jeder beliebige
> Körper sein,
> aber ich habe in meiner Vorlesung oder auch sonstwo noch
> keinen [mm]\IC-Vektorraum \quad \IR[/mm] gesehen.]
Nun ich auch nicht, das mag wohl daran liegen, dass die äußere Verknüpfung nicht wohldefiniert ist.
Es müsste ja für jedes [mm] $z\in\IC$ [/mm] (Körper) und jede reelle Zahl [mm] $r\in\IR$ [/mm] (als Element des VRes) gelten, dass [mm] $z\cdot{}r\in\IR$ [/mm] ist
Aber wenn du mal $z=i$ und $r=1$ wählst, so ist [mm] $z\cdot{}r=i\cdot{}1=i\notin\IR$
[/mm]
Du kommst also mit deiner äußeren Verknüpfung [mm] $\IC\times\IR$ [/mm] aus [mm] $\IR$ [/mm] raus!
Das haut also nicht hin.
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> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Di 13.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> > b) [mm]dim_{\IC}(\IC)=1[/mm]
> >
> > Das verstehe ich nicht.
> > Ich weiß nur, dass für [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC-Vektorraum[/mm] 1 und i
> > keine Basis bilden.
>
> Beide zusammen nicht, aber jedes für sich schon:
>
> Es ist [mm]1\in\IC[/mm] (dem Vektorraum), und du kannst jeden Vektor
> [mm]z\in\IC[/mm] doch durch Multiplikation von Skalaren aus dem
> Körper [mm]\IC[/mm] mit der [mm]1[/mm] aus dem VR [mm]\IC[/mm] erzeugen ...
>
> Ebenso tut es jedes andere Element aus dem VR [mm]\IC[/mm] als Basis
> ...
>
> Du kannst ja beliebige Skalare aus dem Körper [mm]\IC[/mm]
> dranmultiplizieren und erhältst so jede komplexe Zahl
> (gesehen als Vektor aus dem VR [mm]\IC[/mm])
Achso!
Also wenn ich als Element aus dem Vektorraum [mm] \IC [/mm] die $1 [mm] \in \IC$ [/mm] wähle, und als Skalar aus dem Körper [mm] \IC [/mm] wähle ich jetzt das allgemeine Element $x+iy [mm] \in [/mm] K= [mm] \IC$, [/mm] und wenn ich diese beiden Elemente jetzt skalar multipliziere, dann erhalte ich das allegemeine Element $x+iy [mm] \in V=\IC$ [/mm] aus dem Vektorraum.
Und das ist ja dann quasi jede Komplexe Zahl, also ist [mm] 1\in\IC [/mm] eine Basis für [mm] \IC [/mm] als [mm] \IC-Vektorraum.
[/mm]
Stimmt das so?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus!
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>
> > > b) [mm]dim_{\IC}(\IC)=1[/mm]
> > >
> > > Das verstehe ich nicht.
> > > Ich weiß nur, dass für [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC-Vektorraum[/mm] 1 und i
> > > keine Basis bilden.
> >
> > Beide zusammen nicht, aber jedes für sich schon:
> >
> > Es ist [mm]1\in\IC[/mm] (dem Vektorraum), und du kannst jeden Vektor
> > [mm]z\in\IC[/mm] doch durch Multiplikation von Skalaren aus dem
> > Körper [mm]\IC[/mm] mit der [mm]1[/mm] aus dem VR [mm]\IC[/mm] erzeugen ...
> >
> > Ebenso tut es jedes andere Element aus dem VR [mm]\IC[/mm] als Basis
> > ...
> >
> > Du kannst ja beliebige Skalare aus dem Körper [mm]\IC[/mm]
> > dranmultiplizieren und erhältst so jede komplexe Zahl
> > (gesehen als Vektor aus dem VR [mm]\IC[/mm])
>
> Achso!
>
> Also wenn ich als Element aus dem Vektorraum [mm]\IC[/mm] die [mm]1 \in \IC[/mm]
> wähle, und als Skalar aus dem Körper [mm]\IC[/mm] wähle ich jetzt
> das allgemeine Element [mm]x+iy \in K= \IC[/mm], und wenn ich diese
> beiden Elemente jetzt skalar multipliziere, dann erhalte
> ich das allegemeine Element [mm]x+iy \in V=\IC[/mm] aus dem
> Vektorraum.
>
> Und das ist ja dann quasi jede Komplexe Zahl, also ist
> [mm]1\in\IC[/mm] eine Basis für [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC-Vektorraum.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, fast. Eine Basis ist eine Menge, also besser {1} ist eine Basis ....
FRED
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> LG, Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 13.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
> > Stimmt das so?
>
> Ja, fast. Eine Basis ist eine Menge, also besser {1} ist
> eine Basis ....
Ok, alles klar, danke für eure Hilfe.
LG, Nadine
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