Dimension < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Do 25.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{-1\\ 1\\ 2}, \vec{b}=\vektor{2\\ -1\\ 3} [/mm] und [mm] \vec{c}= \vektor{5\\ -3\\ 4}
[/mm]
a) Untersuchen Sie diese Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit.
b) Welche Dimension hat der Vektorraum, der von den drei Vektoren erzeugt wird? |
Moin,
zu a)
[mm] r1*\vec{a} [/mm] + [mm] r2*\vec{b} +r3\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 5\\ 1 & -1 & -3\\ 2 & 3 & 4}
[/mm]
nach umformen:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 5\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
d.h. die vektoren sind linear abhängig. ok.
jetzt weiß ich aber nicht wie ich am besten weiter mache, um die dimension zu bestimmen.
kann man das aus dem LGS erkennen? muss ich einzeln durchprüfen
ob
1) [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm]
2) [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c}
[/mm]
3) [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c}
[/mm]
linear abhängig/unabhängig sind
oder gibt es einen kürzeren Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Do 25.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi wolfgang,
das macht man, indem man den Rang der Matrix bestimmt. ![[]](/images/popup.gif) hier steht alles, was du wissen musst.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Do 25.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin walde,
vielen dank!
habe mir mal den link angeschaut. daraus entnehme ich, dass ich den rang und damit die dimension direkt aus dem umgeformten LGS ablesen kann (s. Beispiel dort). Das ist gut!
Außerdem erspart es mir mglw. die ein oder andere frage zum "rang einer matrix".
danke & gruß
wolfgang
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