Dim sowie Norm auf R zeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:25 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hallo !
Ich soll folgende Gleichung mittels Induktion und verwenden der Dimensionsformel beweisen:
[mm] U_{1}, [/mm] ..., [mm] U_{n} [/mm] sind endliche UVR's von V.
[mm] dim(U_{1}+....U_{n})= \summe_{i=1}^{n}dim(U_{i})-\summe_{i=1}^{n}dim((U_{1}+...+U_{i-1}) \cap U_{i})
[/mm]
I.A.
Also n=1: [mm] dim(U_{1})=dim(U_{1}) [/mm]
I.S
n -> n+1
[mm] dim(U_{1}+....+U_{n+1})= \summe_{i=1}^{n+1}dim(U_{i})-\summe_{i=1}^{n+1}dim((U_{1}+...+U_{i-1}) \cap U_{i})
[/mm]
<=>
[mm] dim(U_{1}+....+U_{n+1})= \summe_{i=1}^{n}dim(U_{i})+dim(U_{n+1})- \summe_{i=1}^{n}dim((U_{1}+...+U_{i-1}) \cap U_{i})-dim((U_{1}+...+U_{n}) \cap U_{n+1})
[/mm]
Nach Induktionsvorausetzung einsetzen folgt weiter:
[mm] dim(U_{1}+....+U_{n+1})=dim(U_{1}+....+U_{n})+dim(U_{n+1})-dim((U_{1}+...+U_{n}) \cap U_{n+1})
[/mm]
Die Dimensionsformel sagt ja aus:
[mm] dim(W_{1}+W_{2})=dim(W_{1})+dim(W_{2})-dim(W_{1} \cap W_{2})
[/mm]
Ich definiere mir nun:
[mm] X_{1}:=U_{1}+U_{2}+...+U_{n}
[/mm]
[mm] X_{2}:=U_{n+1}
[/mm]
=>
[mm] dim(X_{1}+X_{2})=dim(X_{1})+dim(X_{2})-dim(X_{1}) \cap X_{2})
[/mm]
Die Aussage ist genau die Dimensionsformel, also ist die Aussage wahr !
Kann man das so machen ?
Und dann noch diese hier, wo ich tatsächlich ein Problem habe, komme net weiter:
Ich soll zeigen, dass [mm] ||x||_{2}:= (\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})^\bruch{1}{2}, [/mm] wobei x [mm] \in \IR^{n} [/mm] eine Norm auf dem [mm] \IR^{n} [/mm] ist. Dabei sollen wir zuerst zeigen, dass für die Dreiecksungleichung die Gleichheit:
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j})^2-(\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i})^2
[/mm]
gilt:
Hmm, nun ja, das hab ich gezeigt. Also kann ich jetzt davon ausgehen, dass die Gleichung wahr ist.
Nur weiß ich net genau, wo ich die jetzt einsetzen soll:
Für die Norm muss ich ja 3 Eigenschaften zeigen:
unter anderem auch:
||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x||+||y|| (Dreiecksungleichung)
[mm] (\summe_{i=1}^{n} (x_{i}+y_{i})^{2})^\bruch{1}{2} \le (\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})^\bruch{1}{2}+(\summe_{i=1}^{n} y_{i}^{2})^\bruch{1}{2}.
[/mm]
Aber was hilft mir nun diese bewiesene Eigenschaft ?
Ich hab beides mal quadriert, damit die Wurzeln wegfallen, aber dann hab ich ja wegen der ersten binomischen Formel, rechts unter anderem:
2* [mm] \summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}*\summe_{i=1}^{n}y_{i}^{2} [/mm] stehen, was aber ja nicht das gleiche ist, wie: 2 [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j})^{2}
[/mm]
Weiß net, wie mir das ganze helfen soll....
Hat jemand ne Idee, danke schon mal...
Faenôl
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 12:53 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, naja, ich hatte nicht mehr mit einr Antwort gerechnet ! *g*
Ich hab das so versucht:
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j})^2-(\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i})^2 [/mm] $
Der rechte Teil in der Gleichung die per Induktion bewiesen werden sollte, ist ein Quadrat, also immer positiv !
Folglich, wenn man diese weglässt, wird der rechte Teil größer als der andere.
[mm] \bruch{1}{2} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2} \le \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}y_{j})^2
[/mm]
Ab hier ist dann die Unsicherheit geblieben..
hatte überlegt, jetzt [mm] x_{i}y{j} [/mm] als [mm] x_{i} [/mm] zu definieren
[mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2} \le [/mm] 2* [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}x_{i}^2
[/mm]
Kann man nun jetzt sagen, dass die zu beweisene Dreiecklsungl. erfüllt ist ? Man müßte irgendwie das - mit + ersetzen, und nach nach dem Schema, wenn das schon größer ist, dann ist es das andere erst recht..
???
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Basilikum |
Hallo,
also so komplett bin ich bei Deinem Lösungsansatz auch nicht
durchgestiegen, würde es auch anders machen, aber
ich habe den Eindruck, daß die beiden Summen aus
Deinem Eingangsposting (von denen Du behauptest, sie seien
ja wohl nicht das gleiche) sehr wohl das gleiche sind? Kann das
daran liegen, daß Du die Formeln falsch eingetippt hast?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Di 28.12.2004 | | Autor: | Faenol |
Hi !
HMM, ich denke du meinst die hier:
2* [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}* \summe_{i=1}^{n} (y_{i})^2 [/mm] = 2* [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (x_{i}y_{j})^{2}
[/mm]
Ich würde sagen, dass es nicht das gleiche ist:
Der linke Ausdruck ist ene Mulitplikation, der rechte eine Verschachtelung (wie z.B. zwei While Schleifen)
Nehmen wir an n=2
sowie [mm] x_{1}=3,x_{2}=5,y_{1}=2,y_{2}=6
[/mm]
links: [mm] 2*(3^{2}+5^{2}*(2^{2}+6^{2})=2*43*40=3440
[/mm]
rechts: [mm] 2*[(3*2)^{2}+(3*6)^{2}+(5*2)^{2}+(6*2)^{2}]=2*(36+324+100+144)=1208
[/mm]
Oder ?
Kannst du vielleicht deinen Lösungsweg erklären ?
Danke
Faenôl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Di 28.12.2004 | | Autor: | Basilikum |
Hallo Faenol.
Ja genau, diese Formel meine ich. Irgendwie habe ich noch nicht so ganz
heraus, wie man hier Formeln vernünftig darstellt bzw eingibt, sie sehen
bei mir verrutscht und schief aus, aber Deine
Beschreibung hat mir klar gemacht, was Du meinst. Die beiden Seiten
sind gleich. Multipliziere einmal die linke Seite jeden gegen jeden aus.
Und rechne Dein Zahlenbeispiel noch einmal durch, beide Seiten, Du hast nämlich bei beiden Seiten Rechenfehler gemacht, es kommt beide Male 2720 heraus :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Basilikum!
Du hast recht, da sind wirklich zwei heftige Fehler drin.
Kommt natürlich auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis raus.
*muss wohl besser rechnen lernen* *g*
Anweisung von dir: Multipliziere einmal die linke Seite jeden gegen jeden aus.
[mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i})^{2}* \summe_{i=1}^{n} (y_{i})^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (x_{i}y_{j})^{2} [/mm]
Ziehen wir aus allen mal die Wurzel (Vereinfacht halber)
= [mm] (x_{1}+....+x_{n}) [/mm] * [mm] (y_{1}+....+y_{n})
[/mm]
[mm] x_{1}*y_{1}+.....+x_{1}*y_{n}
[/mm]
+.....+
[mm] x_{n}*y_{1}+.....+x_{n}*y_{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (x_{i}y_{j})
[/mm]
HMM, stimmt !
Aber stimmt das denn nun immer ? Müßte ja eigentlich !
Gilt immer ?
[mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i})^{m}* \summe_{i=1}^{n} (y_{i})^{m} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} (x_{i}y_{j})^{m} [/mm]
O.K, dann versuch ich's mit diesem Wissen mal erneut:
[mm] (\summe_{i=1}^{n} (x_{i}+y_{i})^{2})^\bruch{1}{2} \le (\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})^\bruch{1}{2}+(\summe_{i=1}^{n} y_{i}^{2})^\bruch{1}{2}. [/mm]
quadrieren:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i}+y_{i})^{2} \le \summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2*(\summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2})^\bruch{1}{2}*(\summe_{i=1}^{n} y_{i}^{2})^\bruch{1}{2}+\summe_{i=1}^{n} y_{i}^{2}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i}+y_{i})^{2} \le \summe_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+2*\summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n} (x_{i}y_{j})+\summe_{i=1}^{n} y_{i}^{2}
[/mm]
Aber dann ?
Seh da das Licht net ?
Du ?
Faenôl
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