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Wer kann mir bitte bei dieser Frage helfen oder einen Tipp sagen?
Frage:
Bestimmen Sie die allg. Lsg. des folgenden inhomogenen Systems, sowie die Lsg. des zugehörigen Anfangswertproblems?
dx/dt = x - y + 2 x(0)=0
dy/dt = y - x - 5 y(0)=0
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Hallo karl_gustav,
> dx/dt = x - y + 2 x(0)=0
> dy/dt = y - x - 5 y(0)=0
zunächst bestimmst Du die Eigenwerte der Matrix A:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 & { - 1} \\
{ - 1} & 1 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Die Eigenwerte werden durch lösen des Gleichungssystems
[mm]\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & { - 1} \\
{ - 1} & {1\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;0[/mm]
bestimmt .
Danach bestimmst Du die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten durch Lösen des Gleichungssystems
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{1\; - \;\lambda } & { - 1} \\
{ - 1} & {1\; - \;\lambda } \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{e_{\lambda 1} } \\
{e_{\lambda 2} } \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Dies ergibt dann die Transformationsmatrix C, die die Matrix A überführt in
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\lambda _1 } & 0 \\
0 & {\lambda _2 } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Durch die Transformation y = C z, geht das DGL-System über in:
[mm]
\begin{gathered}
y\; = \;C\;z \hfill \\
y'\; = \;C\;z' \hfill \\
\Rightarrow \;C\;z'\; = \;A\;C\;z \hfill \\
\Leftrightarrow \;z'\; = \;C^{ - 1} \;A\;C\;z \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Somit läßt sich das homogene System dann einfacher lösen.
Die Transformationsmatrix C lautet:
[mm]
C\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{e_{{\lambda _1} 1} } & {e_{{\lambda _2} 1} } \\
{e_{{\lambda _1} 2} } & {e_{{\lambda _2} 2} } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Natürlich müssen die Lösungen für z in die Lösungen für y überführt werden.
Für die Lösung des inhomogenen System kannst Du die Methode der Variation der Konstanten anwenden.
Gruß
MathePower
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