Differnzierbare, stetige Funkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo ihr!
bräuchte mal dringen eure Hilfe!
also seien a, b [mm] \in \IR [/mm] mit a<b und sei f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Diese ist nun nach Vorausetzung auf (a,b] differenzierbar und es existiere der [mm] \limes_{x\rightarrow\a} [/mm] f'(x).
So, ich möchte jetzt zeige, dass f auch in x=a differenzierbar ist und anschließend f'(a) bestimmen. Aber wie mach ich das?
Hab mir zuerst noch mal die Defintion der Differenzierbarkeit angeguckt, also f heißt in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar falls der grenzwert f'( [mm] x_{0}) [/mm] :=
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] existiert und endlich ist.
Anschließend hab ich mir gedacht, dass doch der Mittelsatz hier ine wichtige Rolle spielt. Kann das ganze nur noch nicht ganz anwenden.
Wäre echt gut wenn mir wer helfen könnte.
Lieber Gruß marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Wenn der Grenzwert
[mm]c := \limes_{x\rightarrow a}f'(x) [/mm]
existiert, dann gibt es ja für jedes [mm] \varepsilon \in \IR^{+} [/mm] ein [mm] \delta \in \IR^{+}, [/mm] so dass für alle [mm]x \in (a, a + \delta)[/mm] die Beziehung
[mm]c - \varepsilon < f'(x) < c + \varepsilon[/mm]
gilt. Für alle diese [mm]x \in (a, a + \delta)[/mm] gilt dann auch (I)
[mm] f(a) + (x - a)(c - \varepsilon) < f(x) < f(a) + (x - a)(c + \varepsilon)[/mm]
denn wenn für ein [mm]x \in (a, a + \delta)[/mm] etwa
[mm] f(x) > f(a) + (x - a)(c + \varepsilon)[/mm]
gelten würde, so folgte aus dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung die Existenz eines [mm]y \in (a, x)[/mm] mit
[mm] f'(y) > \bruch{f(a) + (x - a)(c + \varepsilon) - f(a)}{x - a} = c + \varepsilon [/mm]
was offensichtlich falsch ist. Also gilt für alle diese x die Aussage (I) über ihren Funktionswert. Wenn wir von dieser Ungleichung (I) aber f(a) abziehen und durch (x - a) teilen, ergibt sich
[mm]c - \varepsilon < \bruch{f(x) - f(a)}{x - a} < c + \varepsilon [/mm]
Da wir für beliebig kleine [mm] \varepsilon [/mm] immer auch ein [mm] \delta [/mm] mit der gewünschten Eigenschaft finden, musst der Differenzenquotient in der Mitte mit x gegen a gegen c konvergieren, d. h. f'(a) existiert und es gilt
[mm] f'(a) = c[/mm]
Gruß Clemens
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Hi Mikke,
ich mag ja mal wieder Tomaten auf den Augen haben, aber setze in Deiner Aufgabe doch mal für f die Betragsfunktion, für a 0 und für b z.B. 1. Das erfüllt die Voraussetzungen, aber f ist in 0 (also a) nicht diff.bar, weil der Grenzwert des Differenzenquotienten von links -1 und von rechts 1 ist.
Aber vermutlich habe ich da wieder etwas mißverstanden.
Gruß,
Peter
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Hallo,
Es wird explizit gefordert, dass $ [mm] \limes_{n\rightarrow a} [/mm] f'(x) $ existiert. Bei der Betragsfunktion existiert aber kein eindeutiger Limes für a=0, wie du ja selbst gesagt hast.
- Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Do 20.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Tja Marcel,
da war mein vollautomagisches Mustererkennungs- un Reparatursystem offenbar auf "tumb" geschaltet.
Im Ernst:f ist lediglich auf [a,b] definiert. Das heißt es kann keinen linksseitigen Grenzwert geben, da zur Grenzwertbildung nur Werte aus dem Definitionsbereich verwendet werden können und f muß für $x<a$ auch nicht mehr reellwertig sein. Es könnte z.B. für ein [mm] $\varepsilon>0: f(a-\varepsilon)=$Kaninchenzüchter [/mm] sein. Darüber wissen wir doch nichts. Mein Beispiel war insofern blöde formuliert, als ich sagte, f solle die Betragsfunktion sein.
Inkonsequenz - mea culpa
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Do 20.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Denken wir das Beispiel der Betragsfunktion mit a=0 und b=1 durch:
[mm] |.|: [0;1] \to \IR, x \mapsto |.|(x) = |x| := x [/mm]
Dann gilt |.|'(0) = 1, weil der Differenzenquotient, dessen Grenzwert gebildet wird, in jedem Fall 1 ist. Den "linksseitigen Grenzwert" -1 gibt es nicht, weil |.| nur auf [0;1] definiert ist.
Gruß Clemens
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