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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 24.10.2009 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Seien L, M, N Mengen. Zeigen Sie, dass
L [mm] \backslash [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] N ) = ( L [mm] \backslash [/mm] M ) [mm] \cup [/mm] ( L [mm] \backslash [/mm] N)
und
L [mm] \backslash [/mm] ( M [mm] \cup [/mm] N ) = ( L [mm] \backslash [/mm] M ) [mm] \cap [/mm] ( L [mm] \backslash [/mm] N)
gelten. |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe kürzlich mit dem Thema der Mengenlehre angefangen und schon mehrere Beweise durchgeführt, bisher jedoch noch nicht für Differenzmengen. Hier komme ich einfach nicht auf den Lösungsweg.
Also ich muss ja theoretisch zeigen, dass die linke Seite eine Teilmenge der rechten ist und umgekehrt.
Ich fange immer damit an:
Sei x [mm] \in [/mm] L [mm] \backslash [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] N ),
so ist x [mm] \in [/mm] L und x [mm] \not\in [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] N )
Nun kommt das Problem, was kann ich mit der Info anfangen,
dass x nicht in ( M [mm] \cap [/mm] N ) drin ist.
Habe versucht viele Umformungen zu machen,
aber keine sieht wie eine Teilmenge von ( L [mm] \backslash [/mm] M ) [mm] \cup [/mm] ( L [mm] \backslash [/mm] N) aus.
Wie löst man solch Beweise für Differenzmengen?
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> Seien L, M, N Mengen. Zeigen Sie, dass
>
> $\ L [mm] \backslash( [/mm] M [mm] \cap [/mm] N ) = ( L [mm] \backslash [/mm] M ) [mm] \cup( L\backslash [/mm] N)$
> und
> $\ L [mm] \backslash( M\cup [/mm] N ) = ( L [mm] \backslash [/mm] M [mm] )\cap( [/mm] L [mm] \backslash [/mm] N)$
> gelten.
> Also ich muss ja theoretisch zeigen, dass die linke Seite
> eine Teilmenge der rechten ist und umgekehrt.
> Ich fange immer damit an:
> Sei x [mm]\in[/mm] L [mm]\backslash[/mm] ( M [mm]\cap[/mm] N ),
> so ist x [mm]\in[/mm] L und x [mm]\not\in[/mm] ( M [mm]\cap[/mm] N )
>
> Nun kommt das Problem, was kann ich mit der Info anfangen,
> dass x nicht in ( M [mm]\cap[/mm] N ) drin ist.
$\ [mm] x\in (M\cap{N})$ [/mm] bedeutet ja $\ [mm] x\in [/mm] M\ [mm] \wedge\ x\in [/mm] N$
$\ [mm] x\notin (M\cap{N})$ [/mm] heisst also $\ [mm] x\notin [/mm] M\ [mm] \vee\ x\notin [/mm] N$
> Habe versucht viele Umformungen zu machen,
> aber keine sieht wie eine Teilmenge von
> ( [mm] L\backslash [/mm] M [mm] )\cup [/mm] ( L [mm] \backslash [/mm] N) aus.
>
> Wie löst man solch Beweise für Differenzmengen?
Es gilt:
$\ [mm] x\in (L\backslash{M})\quad\gdw\quad x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] M$
also auch:
$\ [mm] x\in (L\backslash{M})\cup(L\backslash{N})\quad\gdw\quad (x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] M)\ [mm] \vee\ (x\in [/mm] L\ [mm] \wedge\ x\notin [/mm] N) $
Damit bist du bei einem rein logischen Ausdruck.
LG Al-Chw.
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Sorry, dass ich so ein altes Thema rausgrabe.
Der rein logische Ausdruck ist der komplette Beweis, mehr ist das nicht?
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> Sorry, dass ich so ein altes Thema rausgrabe.
Ja, das ist tatsächlich alt: 1 Jahr und 12 Monate !
(aber noch 2 Tage weniger als 2 Jahre ...  )
> Der rein logische Ausdruck ist der komplette Beweis, mehr
> ist das nicht?
Nein, das ist natürlich nicht der komplette Beweis.
Damals hat aber etoxxl einfach nicht mehr weiter
gefragt, und so schien das Thema erledigt zu sein.
Insgesamt war ja die
Aufgabe:
Seien L, M, N Mengen. Zeigen Sie, dass
L $ [mm] \backslash [/mm] $ ( M $ [mm] \cap [/mm] $ N ) = ( L $ [mm] \backslash [/mm] $ M ) $ [mm] \cup [/mm] $ ( L $ [mm] \backslash [/mm] $ N)
und
L $ [mm] \backslash [/mm] $ ( M $ [mm] \cup [/mm] $ N ) = ( L $ [mm] \backslash [/mm] $ M ) $ [mm] \cap [/mm] $ ( L $ [mm] \backslash [/mm] $ N)
gelten.
Wenn du dazu noch weitere Fragen stellen möchtest,
würdse ich dir empfehlen, dazu einen neuen Thread
zu eröffnen.
LG Al-Chw.
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