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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:34 Sa 22.01.2005 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, ich weiß nicht so recht wie ich das beweisen soll. Es wäre von daher wirklich nett, wenn mir jemand vielleicht einen Tipp geben könnte. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
Sei f: [0, [mm] \infty) \to [/mm] [2, [mm] \infty) [/mm] definiert durch f(x) := [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x}.
[/mm]
Zeigen sie, dass f bijektiv ist und dass die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}: [/mm] [2, [mm] \infty) \to [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] in (2, [mm] \infty) [/mm] differenzierbar ist.
Zeigen sie schließlich, dass [mm] f^{-1}(x) [/mm] = ln (x + [mm] \wurzel{x^{2}-4}) [/mm] - ln2
Das ist sie also meine Aufgabe.Als erstes kommt mir da nrtürlich die folgende Formel für die Ableitung in den Sinn:
f'(x)= [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
Kann ich in diese Formel einfach mein x einsetzen und es dann gegen unendlich laufen lassen??
Ich wäre sehr dankbar für ein paar Tipps
Grüße IKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Sa 22.01.2005 | | Autor: | refactory |
Zur Frage der Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion: [mm] f^{-1} [/mm] ist genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle [mm] x_0 [/mm] existiert (Identischer Grenzwert von beiden Seiten). Das heißt dein x muss gegen [mm] x_0 [/mm] laufen - nicht gegen unendlich.
Evtl. ist es einfacher den Grenzwert des Differenzenquotienten über die Ausgangsfkt. mit Hilfe des Zusammenhages [mm] f^{-1}(f(x))=x [/mm] und [mm] f(f^{-1}(y))=y [/mm] zu lösen. Durchgerechnet hab ich es jetzt aber nocht nicht ;)
Mit Besten Grüßen
RE
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:24 So 23.01.2005 | | Autor: | IKE |
Also das habe ich denke ich nun verstanden. Und wie geht es dann weiter, wie muss ich denn mein [mm] x_{0} [/mm] wählen. Und wieso muss es gegen [mm] x_{0} [/mm] und nicht gegen unendlich laufen??
mfg IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 So 23.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Antwort ist schwierig, weil ich deine Vorraussetzungen nicht kenne. Wie ist die e Fkt für euch definiert? Über die Reihe oder anders?
Sobald du zurückschreibst versuch ich zu antworten
Tschüss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 23.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo,
wie meinst du das wie wir die e-Funktion definiert haben, wir haben da einfach mit gearbeitet und ein paar Mal in den Übungsaufgaben mit gerechnet. Das war dann im Zusammenhang mit konvergenten Reihen.
mfg IKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mo 24.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie eine Fkt definiert ist heisst, dass man sie eindeutig für jeden Wert bestimmen kann. für [mm] e^{x} [/mm] gibt es zwei übliche Wege:
a) [mm] e^{x} [/mm] :? [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} \bruch{x^{i}}{i!}
[/mm]
oder b) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] ist die Lösung von f'(x) = f(x) mit f(0) = 1
mit b) kennt man die Ableitung schon und der erste Teil deiner Aufgabe wäre fertig. Da du was von Reihen und Konvergenz gesagt hast, nehm ich mal an es gilt eher a) daraus folgt z.Bsp.
0< [mm] e^{x} [/mm] < 1+x was sehr oft in Beweisen verwendet wird. (y= 1+x ist Tangente bei x=0 und [mm] e^{x} [/mm] liegt immer darüber, wenn x [mm] \not=0
[/mm]
Def der Ableitung : f'(xo) = [mm] \limes_{x\rightarrow\xo} \bruch{f(xo)-f(x)}{xo-x}
[/mm]
falls der Grenzwert existiert und für x von links gegen xo und rechts gegen xo gleich ist.
also für [mm] e^{x}:
[/mm]
[mm] \bruch{e^{xo}-e^{x}}{xo-x}= e^{x}\bruch{e^{xo-x}-1}{x0-x} [/mm] jetzt [mm] 0
[mm] (e^{x})' [/mm] = [mm] e^{x}
[/mm]
Der Beweis für die Differentiation der Umkehrfkt. steht in jedem Lehrbuch, den will ich hier nicht abschreiben. Da wird bewiesen [mm] (f^{-1}(xo) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(yo)} [/mm]
Nun mußt du noch verwenden ( [mm] e^{x}+e^{-x})^{2} [/mm] - ( [mm] e^{x}-e^{-x})^{2} [/mm] =4
d.h. [mm] y^{2}-y'{2} [/mm] =4 und alles schön ausrechnen. Wenn du dein Ergebnis überprüfen willst sieh nach unter den Regeln für sinh(x) und cosh(x).(und ihre Definition!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Di 25.01.2005 | | Autor: | IKE |
hallo,
vielen Dank für die Hilfe. Habs nun doch geschafft.
Grüße IKE
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