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Forum "Differenzialrechnung" - Differenzieren einer Funktion

Differenzieren einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

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Differenzieren einer Funktion: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:08 Do 14.12.2006
Autor:	McMuskel

Aufgabe

 Differenzieren sie die folgende Funktion nach der unabhängigen Variablen.

[mm] y(x)=ln^2(3x^2-6)^3
 [/mm]

Summen möglichst weitgehend in Produkte verwandeln, Brüche kürzen!

Erstes Problem:
Kann ich die Funktion so vereinfachen?

[mm] y(x)=ln^2(3x^2-6)^3=ln(3x^2-6)^{3*2}=ln(3x^2-6)^6 [/mm]

Ich habe das jetzt mal so angenommen und mit der Kettenregel abgeleitet:

[mm] y'(x)=6*ln(3x^2-6)^5*\bruch{1}{3x^2-6}*6x [/mm]

[mm] y'(x)=\bruch{36*ln(3x^2-6)^5}{3x^2-6}*x [/mm]

Jo, soweit mein Lösungsweg. Allerdings stimmt mein Ergebnis nicht mit der richtigen Lösung überein.
Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Differenzieren einer Funktion: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:19 Do 14.12.2006
Autor:	Gonozal_IX

Hallo,

deine "Vereinfachung" geht so nicht, weil sich das Quadrat auf den ln bezieht und nicht auf das Argument im ln :-)

Ich würds so vereinfachen:

[mm]y(x)=ln^2(3x^2-6)^3[/mm]

[mm]= (ln(3x^2 - 6)^3)^2[/mm] (so ists gemeint)

[mm]=(3ln(3x^2-6))^2[/mm] (Logarithmussgesetz)

[mm]= (3 ln(3*(x^2-2)))^2 [/mm]

[mm]=(3 (ln(3) + ln(x^2-2)))^2 [/mm]

[mm]= 9*(ln3 + ln(x^2-2))^2 [/mm]

[mm]= 9*((ln3)^2 + 2ln(3) * ln(x^2-2) + (ln(x^2-2))^2) [/mm]

[mm]= 9*((ln3)^2 + 2ln(3) * ln[(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})] + (ln[(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})])^2) [/mm]

[mm]=9*((ln3)^2 + 2ln(3) * (ln(x-\sqrt{2}) + ln(x+\sqrt{2})) + (ln(x-\sqrt{2}) + ln(x+\sqrt{2}))^2) [/mm]

und so gehts weiter mit vereinfachen :-)