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Hallo liebe Community,
bin langsam echt am verzweifeln.
Heute mehre stunden Probiert den blöden Beweis vom Differenzieren zu verstehen :(
Ich komme jedoch einfach nicht hinter...
Ich weiß was eine Sekante und Tangente ist... Bei der Tangente wandert der ein Punkt so nah an den anderen, dass deren Abstand unendlich klein wird. Die Steigung der Tangente ist dann die Steigung der Kurve im Punkt X0.
Was mich zunächst verwirrt, ist dass es anscheinend zwei Ausdrücke gibt...
1.) f ' [mm] (x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\D_{f}} \bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}
[/mm]
sowie
2.) f ' [mm] (x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x + \varepsilon) - f(x)}{\varepsilon}
[/mm]
Die Zweite Formel verstehe ich. Die erste nicht.
Zur Zweiten... Der Punkt nähert sich ja unendlich nahe dem anderen... D:h. deren Abstand wird unendlich klein. Dies ist ja hier das + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Mit dem Ausdruck im Nenner bestimme ich ja den Abstand zwischen den beiden Punkten.
Nun habe ich Probiert nach diesem Schema es für f(x) = [mm] x^{2} [/mm] zu lösen...
[mm] \bruch{(x+\varepsilon)^{2}}{\varepsilon} [/mm] = [.. binom. Formel, kürzen etc.] = 2x + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Das [mm] \varepsilon [/mm] vernachlässigen wir ja, da es unendlich klein wird...
Dies stimmt auch.. denn wir wissen: f(x) = [mm] x^{2}, [/mm] f ' (x) = 2x
So... nun folgt aber nach diesem kleinen Erfolgserlebnis mein nächstes Problem.... Ich habe versucht für f(x) = [mm] 2x^{3} [/mm] die Ableitung zu bilden...
und das ging - wie anders nicht zu erwarten war - schief :(
Ich bekam am Ende alles andere raus als 6x²
Vielleicht war es ein Rechenfehler ? - Ich bin echt am verzweifeln :(
Kann mir bitte das alles wer von Euch erklären?
Liebe Grüße,
Steffi
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Die beiden Formeln sind selbstverständlich äquivalent. Hergeleitet wird aber trotzdem eigentlich immer die erste Formel, die richtig lautet:
f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}
[/mm]
Man lässt also den Punkt P(x|f(x)) immer näher an den Punkt [mm] Q(x_{0}|f(x_{0}) [/mm] rücken. (Man behandelt es bei diesem Beispiel sozusagen absolut (zwei Punkte), bei der anderen Formel relativ (ein Punkt und ein Abstand))
Aber auch die zweite Formel leitet sich im Grunde nur aus der ersten her:
Hat man einen Punkt P(x|f(x)) und einen Punkt Q((x+h)|f(x+h)) (wobei h eben der Abstand der x-Werte zwischen den beiden Punkten ist), so würde das eingesetzt in die erste Formel von oben lauten:
Mit [mm] x_{0} [/mm] = x+h :
f'(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(x+h)}{x - (x+h)}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(x+h)}{-h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}.
[/mm]
Zum zweiten Problem, da kann ich dir nur eine ausführliche Rechnung zum Selberkontrollieren geben:
Sei f(x) = [mm] 2x^{3}.
[/mm]
Dann ist
f'(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2*(x+h)^{3} - 2*x^{3}}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2*(x^{3} + 3*x^{2}*h + 3*x*h^{2} + h^{3}) - 2*x^{3}}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{2*x^{3} + 6*x^{2}*h + 6*x*h^{2} + 2h^{3} - 2*x^{3}}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{6*x^{2}*h + 6*x*h^{2} + 2h^{3}}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h * (6*x^{2} + 6*x*h + 2h^{2})}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} 6*x^{2} [/mm] + 6*x*h + [mm] 2h^{2}
[/mm]
= [mm] 6*x^{2}
[/mm]
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