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| Aufgabe | | [mm] http://books.google.de/books?id=bugEhvjTXpQC&pg=PA27&lpg=PA27&dq=ein+schiff+S+f%C3%A4hrt+mit+einer+konstane+geschwindigkeit+v+so,+das+der+kurswinkel&source=bl&ots=RzWlM8f0_Y&sig=xR7AJuoEaBiGpAibjlkkSYSnPz4&hl=de&sa=X&ei=kCOeUPyMKOXO4QT194HwAw&ved=0CCIQ6AEwAA#v=onepage&q=ein%20schiff%20S%20f%C3%A4hrt%20mit%20einer%20konstane%20geschwindigkeit%20v%20so%2C%20das%20der%20kurswinkel&f=false [/mm] |
siehe Link, Beispiel 1.4
Ich komme mit der Aufgabe soweit klar nur stellt sich bei mir die Frage, warum in der Ableitung auf Seite 27 von phi^(..) auf einmal steht dphi/dr *r
Die Ableitung von r^(..) ist mir klar das sie null ist.
Warum ist phi^.. nicht
[mm] \bruch{v·COS(\alpha}{r}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
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> [mm]http://books.google.de/books?id=bugEhvjTXpQC&pg=PA27&lpg=PA27&dq=ein+schiff+S+f%C3%A4hrt+mit+einer+konstane+geschwindigkeit+v+so,+das+der+kurswinkel&source=bl&ots=RzWlM8f0_Y&sig=xR7AJuoEaBiGpAibjlkkSYSnPz4&hl=de&sa=X&ei=kCOeUPyMKOXO4QT194HwAw&ved=0CCIQ6AEwAA#v=onepage&q=ein%20schiff%20S%20f%C3%A4hrt%20mit%20einer%20konstane%20geschwindigkeit%20v%20so%2C%20das%20der%20kurswinkel&f=false[/mm]
> siehe Link, Beispiel 1.4
der Link funktioniert zwar nicht, aber ich schätze Du meinst Seite 27 in 'Technische Mechanik 3, Gross, Hauger, Schröder, Wall'.
>
> Ich komme mit der Aufgabe soweit klar nur stellt sich bei
> mir die Frage, warum in der Ableitung auf Seite 27 von
> phi^(..) auf einmal steht dphi/dr *r
Bei der Aufgabe gibt es keine Ableitung einer Potenz von [mm] $\varphi$. $\dot{\varphi}$ [/mm] wird nach der Kettenregel abgeleitet.
>
> Die Ableitung von r^(..) ist mir klar das sie null ist.
>
> Warum ist phi^.. nicht
> [mm]\bruch{v·COS(\alpha}{r}[/mm]
Verwende bitte den Formeleditor (richtig), dass man weiß, was Du meinst.
Meinst Du, warum [mm] $\ddot{\varphi}=\frac{v\cos{\alpha}}{r}$ [/mm] nicht richtig ist?
Es wird nach der Zeit differenziert und [mm] $\alpha$ [/mm] ist zeitlich konstant (das ist ja gerade Knackpunkt der Aufgabe).
Gruß,
notinX
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ok, danke, da hängt es [mm] \ddot{\varphi}=\frac{v\cos{\alpha}}{r} [/mm] ist doch die Ableitung von [mm] \varphi [/mm] ich kann doch [mm] \varphi [/mm] nach r ableiten oder nicht warum multiplizieren die dann in der Lösung die Ableitung von [mm] \varphi [/mm] noch einmal mit der Ableitung von r, weil so komme ich auf das richtige Ergebnnis oder versthe ich da etwas komplett falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
> ok, danke, da hängt es
> [mm]\ddot{\varphi}=\frac{v\cos{\alpha}}{r}[/mm] ist doch die
> Ableitung von [mm]\varphi[/mm] ich kann doch [mm]\varphi[/mm] nach r ableiten
Nein, [mm] $\ddot{\varphi}$ [/mm] ist die Ableitung von [mm] $\dot{\varphi}$ [/mm] und ja, Du kannst sowohl [mm] $\ddot{\varphi}$ [/mm] als auch [mm] $\dot{\varphi}$ [/mm] nach r ableiten - das ist aber hier nicht verlangt. Gefragt ist die zeitliche Ableitung.
> oder nicht warum multiplizieren die dann in der Lösung die
> Ableitung von [mm]\varphi[/mm] noch einmal mit der Ableitung von r,
> weil so komme ich auf das richtige Ergebnnis oder versthe
> ich da etwas komplett falsch?
Wie ich bereits sagte: Kettenregel
Wie lautet denn die Ableitung der Funktion: $f(x)=u(v(x))$ ?
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ok ich komme immernoch nicht so wirklich dahinter, schauen wir zu erst einmal bei die ketten regel am besten benutze ich mal ein Beispiel:
[mm] (x^2+3)^2
[/mm]
Davon die Ableitung lautet
[mm] 2*(x^2+3)*2x [/mm] = [mm] 4x(x^2+3)
[/mm]
so un bekomme ich das aber nicht auf [mm] \ddot{\varphi}=\frac{v\cos{\alpha}}{r} [/mm] übertragen :( ich versthe einfach nicht warum ausgerechnet mit der kettenregel nach r abgleitet wird :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
> ok ich komme immernoch nicht so wirklich dahinter, schauen
> wir zu erst einmal bei die ketten regel am besten benutze
> ich mal ein Beispiel:
Nein, genau das solltest Du nicht tun, deshalb fragte ich wie die Ableitung von $ f(x)=u(v(x)) $ ist.
>
>
> [mm](x^2+3)^2[/mm]
>
> Davon die Ableitung lautet
>
> [mm]2*(x^2+3)*2x[/mm] = [mm]4x(x^2+3)[/mm]
Das stimmt zwar, aber am konkreten Beispiel sehen wir keinen Zusammenhang.
Du scheinst die Kettentegel ja zu beherrschen, also unabhängig von der Aufgabe, [mm] $\dot\varphi$ [/mm] und r seien zwei völlig beliebige Funktionen und es gelte:
[mm] $\dot\varphi(r(t))$
[/mm]
Wie sieht nun nach der Kettenregel die Ableitung nach t aus?
>
> so un bekomme ich das aber nicht auf
> [mm]\ddot{\varphi}=\frac{v\cos{\alpha}}{r}[/mm] übertragen :( ich
> versthe einfach nicht warum ausgerechnet mit der
> kettenregel nach r abgleitet wird :(
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ich glaube ich bin zu doof das zu übertragen :(
Ich versuche es mal [mm] \dot{\varphi}*1+r
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
> ich glaube ich bin zu doof das zu übertragen :(
>
> Ich versuche es mal [mm]\dot{\varphi}*1+r[/mm]
Du brauchst erstmal überhaupt nichts zu übertragen. Einfach nur die Kettenregel anwenden, hier nochmal in vermutlich gewöhnter Notation:
$ f(x)=u(v(x)) [mm] \Rightarrow f'(x)=u'(v(x))\cdot [/mm] v'(x)$
Jetzt genau das Gleiche mit anderen Bezeichnungen:
$ [mm] \dot\varphi(r(t)) \Rightarrow \ddot\varphi(r(t))\cdot\dot [/mm] r(t)$
Jetzt klar?
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ok, danke dir vielleicht.
Ich tue mir da ein bisschen schwer mit meinen überlegungen welche varibale steht den jetzt genau für die Zeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
> ok, danke dir vielleicht.
Was soll das denn heißen? Danke vielleicht??
>
> Ich tue mir da ein bisschen schwer mit meinen überlegungen
> welche varibale steht den jetzt genau für die Zeit?
t steht für die Zeit (von engl. 'time' oder latein. 'tempus') und der Punkt über der Funktion kennzeichnet die Ableitung nach der Zeit.
Was genau bereitet Dir denn noch Probleme?
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sorry das vielleicht war auf den nächsten satz bezogen, das ich mir schwer tue :(
Ich glaube mein Problem liegt darin das in den Termen eigentlich nie ein t auftaucht wie in der Mathematik z.b ein x
ich gehe davon aus das das t quasi in r meinem vektor steckt?
daher ist die Ableitung von r^. (sorry weis nicht wie ich das mim Formeleditor mache) =0 weil [mm] v*cos\alpha [/mm] kein r bzw. t enthält ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Sa 10.11.2012 | | Autor: | notinX |
> sorry das vielleicht war auf den nächsten satz bezogen,
> das ich mir schwer tue :(
Achso 
>
> Ich glaube mein Problem liegt darin das in den Termen
> eigentlich nie ein t auftaucht wie in der Mathematik z.b
> ein x
>
> ich gehe davon aus das das t quasi in r meinem vektor
> steckt?
Ja, das Buch behandelt die Kinetik, d.h. die Bewegungslehre. Die wäre ziemlich langweilig ohne Zeitabhängigkeit. Wenn es um Geschwindigkeiten und Beschleunigungen geht setzt man im Prinzip immer eine Zeitäbhängigkeit voraus.
>
> daher ist die Ableitung von r^. (sorry weis nicht wie ich
So: [mm] $\dot{r}$ [/mm] <- da kannst Du draufklicken, dann siehst Du wie mans schreibt.
> das mim Formeleditor mache) =0 weil [mm]v*cos\alpha[/mm] kein r bzw.
> t enthält ?
Genau, [mm] $\dot [/mm] r$ enthält nur v und [mm] $\alpha$ [/mm] und die sind laut Aufgabenstellung beide konstant, also verschwindet deren Ableitung.
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danke dir, in diesem zusammenhang habe ich noch eine Frage hier der link:
http://www.pic-upload.de/view-16907551/Unbenannt.jpg.html
Mir ist irgendiwe nicht schlüssig warum [mm] \dot{\phi} [/mm] so aus der zweiten gleichung folgt, was wird da gemacht integriert?
Und was für Anfangsbedingungen habe ich ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Do 15.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke dir, in diesem zusammenhang habe ich noch eine Frage
> hier der link:
>
>
> http://www.pic-upload.de/view-16907551/Unbenannt.jpg.html
>
>
> Mir ist irgendiwe nicht schlüssig warum [mm]\dot{\phi}[/mm] so aus
> der zweiten gleichung folgt, was wird da gemacht
> integriert?
Ja. Das ist eine blöde Art, es zu erklären und außerdem mit mindesten zwei Tippfehlern; viel einfacher ist folgendes:
Ich multipliziere die Gleichung [mm] $r\ddot\varphi=g\cos\varphi$ [/mm] auf beiden Seiten mit [mm] $\dot\varphi$ [/mm] und teile durch r:
[mm]\ddot\varphi\dot\varphi = \bruch{g}{r}\cos\varphi\dot\varphi [/mm] .
Jetzt benutze ich die Kettenregel, um
[mm] \bruch{d}{dt}\dot{\varphi}^2 = 2\dot{\varphi}*\ddot\varphi[/mm], also [mm]\dot{\varphi}*\ddot\varphi=\bruch{1}{2}\bruch{d}{dt}\dot{\varphi}^2 [/mm]
und
[mm] \bruch{d}{dt}\sin\varphi = \cos\varphi*\dot{\varphi} [/mm]
auszurechnen. Die erste benutze ich für die linke Seite der Gleichung, die zweite für die rechte und bekomme
[mm] \bruch{1}{2}\bruch{d}{dt}\dot{\varphi}^2 = \bruch{g}{r}\bruch{d}{dt}\sin\varphi[/mm] .
Das wird integriert:
[mm] \bruch{1}{2}\dot{\varphi}^2 = \bruch{g}{r}\sin\varphi + C [/mm] .
Jetzt benutze ich noch die Anfangsbedingung, nämlich das für $t=0$ [mm] $\varphi=0$ [/mm] (höchster Punkt des Halbkreises entspricht der Horizontalen und [mm] $\dot\varphi=0$ [/mm] (Geschwindigkeit Null) gelten sollten, woraus $C=0$ folgt.
Heraus kommt (bis auf eine multiplikative Konstante) der Energieerhaltungssatz.
Übrigens ist das ein ganz allgemeines Ergebnis: Hängt die Kraft nur vom Ort, nicht von der Geschwindigkeit ab, so habe ich Energieerhaltung.
Viele Grüße
Rainer
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