Differenzierbarkeit zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei [mm]V = \IR^{n \times n}[/mm] der Raum der [mm]n \times n[/mm]-Matrizen, versehen mit einer beliebigen Matrixnorm. Es sei weiterhin [mm]f: V \to V[/mm] gegeben durch
[mm]M \mapsto f(M) := M^{2} = M * M[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie [mm]f'(M), M \in V[/mm] |
Hallo, also ich sitze gerade an obiger Aufgabe.
Laut VL ist [mm]f[/mm] in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung [mm]A[/mm] und eine stetige Funktion [mm]r[/mm] mit [mm]r(x_{0}) = 0[/mm] gibt, so dass gilt:
[mm]f(x) = f(x_{0}) + A(x-x_{0})+r(x)\begin{Vmatrix}x-x_{0}\end{Vmatrix}[/mm] für alle [mm]x \in V[/mm].
Ich hab mir nun folgendes überlegt:
Unser [mm]f[/mm] ist differenzierbar, wenn [mm]f[/mm] in jedem Punkt [mm]M_{0}[/mm] differenzierbar ist. Setze nun [mm]A := M_{0}[/mm] und [mm]r(M) := \bruch{M^2 - M*M_{0}}{\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}}[/mm].
Dann würde für alle [mm]M \in V[/mm] gelten:
[mm]f(M) = M^2 = M_{0}^2 + M_{0}(M - M_{0}) + \bruch{M^2 - M*M_{0}}{\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}} * \begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix} = f(M_{0}) + A(M-M_{0})+r(M)\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}[/mm]
[mm]A[/mm] wäre dann offenbar linear und [mm]r(M_{0}) = 0[/mm].
Meine Fragen sind jetzt: Kann man das so machen? Und falls ja, wie zeige ich nun, dass [mm]r[/mm] stetig in [mm]M_{0}[/mm] ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 18.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Unser [mm]f[/mm] ist differenzierbar, wenn [mm]f[/mm] in jedem Punkt [mm]M_{0}[/mm]
> differenzierbar ist. Setze nun [mm]A := M_{0}[/mm] und [mm]r(M) := \bruch{M^2 - M*M_{0}}{\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}}[/mm].
>
> Dann würde für alle [mm]M \in V[/mm] gelten:
>
> [mm]f(M) = M^2 = M_{0}^2 + M_{0}(M - M_{0}) + \bruch{M^2 - M*M_{0}}{\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}} * \begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix} = f(M_{0}) + A(M-M_{0})+r(M)\begin{Vmatrix}M-M_{0}\end{Vmatrix}[/mm]
>
> [mm]A[/mm] wäre dann offenbar linear und [mm]r(M_{0}) = 0[/mm].
Du behauptest also [mm] $f'(M_0)(H)=M_0\cdot [/mm] H$, aber das ist nicht richtig. Schreibe
[mm] $$f(M)=M^2=M_0^2+\left(M_0(M-M_0)+(M-M_0)M_0\right)+(M-M_0)^2=:f(M_0)+A_{M_0}(M-M_0)+r(M)\cdot\|M-M_0\|\quad\text{wobei } r(M):=\begin{cases}\frac{(M-M_0)^2}{\|M-M_0\|}&\text{falls }M\ne M_0\\0&\text{sonst}\end{cases},$$ [/mm] d.h. die Ableitung im Punkt [mm] M_0 [/mm] ist gegeben durch die lineare Abbildung [mm] $H\mapsto M_0H+HM_0$. [/mm] Jetzt muss man noch schauen, dass r stetig im Punkt [mm] M_0 [/mm] ist.
Man kommt übrigens leichter darauf indem man rechnet: [mm] $$f(M_0+H)=(M_0+H)^2=M_0^2+M_0H+HM_0+H^2=:f(M_0)+A_{M_0}(H)+r(M_0+H)\cdot\|H\|.$$ [/mm] Dies ist äquivalent zu deiner Formulierung: setze einfach [mm] H:=M-M_0.
[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
|
