Differenzierbarkeit von e^2x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion f: R [mm] \Rightarrow [/mm] R sei durch
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ e^{-\bruch{1}{x^2}}, & \mbox{für } x\not=0 \end{cases}[/mm]
erklärt. Zeigen Sie:
c) f ist beliebig oft differenzierbar im Punkt x=0 und [mm] f^{n} [/mm] (0)=0 für alle 0 [mm] \le [/mm] n [mm] \in \IZ. [/mm] |
Zu der oben genannten Aufgabe hatte ich mir überleget, dass mittels Induktion ein Beweis möglich sei, allerdings finde ich einfach nicht die Idee, so dass die erste Ableitung von[mm] e^-^2^-^x [/mm] gleich null wird. Ich hoffe Ihr könnt mir einen Denkanstoss geben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo micbes,
Die von Dir genannte Funktion ist unstetig in 0 daher nicht differenzierbar.
Meinst Du: [mm] $e^{-\bruch{1}{x^2}}$
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Mo 30.10.2006 | | Autor: | micbes786 |
Doch, an der Stelle 0 ist die Funktion durch die fallweise Definition definiert.
f(x) = 0 für x = 0
Das kam aufgrund kleinerer Schwierigkeiten mit dem dem Eingeben der Aufgabe nur nicht so ganz raus.
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Hallo micbes786,
Was ich meine ist:
Deine Funktion ist in 0 unstetig
[mm] $\lim_{x \to 0} e^{-2-x}=e^{-2}\not=0$
[/mm]
Sie kann also in 0 nicht differenzierbar sein.
Also Wie soll sie aussehen?
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mo 30.10.2006 | | Autor: | micbes786 |
Stimmt, die Aufgabe war falsch gestellt, allerdings nicht von mir aus, sondern bereits auf dem Aufgabenblatt.
Richtig ist : $ [mm] e^{-\bruch{1}{x^2}} [/mm] $
Tut mir leid, dass dadurch einige Unklarheiten entstanden sind.
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Hallo micbes,
Nachdem die Funktion klar ist ein Ansatz:
Die Ableitungen dürften alle so aussehen [mm] P\left(\bruch{1}{x}\right)*e^{-\bruch{1}{x^2}} [/mm] wobei P(x) ein Polynom ist. Außerdem wäre aber [mm] \lim_{x \to \infty} x^k*e^{-x}=0. [/mm] Zusammen ergibt das die Behauptung.
Kannst Du beides zeigen?
viele Grüße
mathemaduenn
P.S.: Die Alternative wäre in der Standardliteratur(Analysis I) nach diesem Standardbsp. zu suchen. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Di 31.10.2006 | | Autor: | micbes786 |
Danke für den Ansatz, ich hab die Aufgabe zusammen mit einem Komilitonen heut morgen fertig gemacht und das Übungsblatt abgegeben.
Großes DANKE nochmal für die schnelle und kompetente Hilfe. :D
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