Differenzierbarkeit von Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | Zeige: Die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}, & \mbox{für } x \in (0,1], \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}
[/mm]
ist differenzierbar auf [0,1], aber nicht von beschränkter Variation |
Hallo!
Ich musste leider die obige Aufgabe aus einem älteren Thread herausziehen, da dieser bereits abgelaufen ist und der Titel wohl etwas abschreckte.
Ich beschäftige mich schon etwas länger mit dieser Aufgabe aber irgendwie komme ich nicht weiter.
zu zeigen ist hier die Differenzierbarkeit der Funktion f auf [0,1] <=> [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
also:
=> [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(x+h)^2 * cos (\bruch{\pi}{(x+h)^2}) - x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}}{h} [/mm] =
=> [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{(x^2 + 2hx + h^2) * cos (\bruch{\pi}{(x+h)^2}) - x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} [\bruch{x}{h} (cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2}) [/mm] - [mm] cos(\bruch{\pi}{x^2}) [/mm] + 2x [mm] cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2}) [/mm] + h [mm] cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2})] [/mm] = (x)
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{x^2 * ( cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2} - cos(\bruch{\pi}{x^2})}{h} [/mm] = [mm] x^2 \limes_{h\rightarrow0} [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{(x+h)^2} [/mm] * [mm] \bruch{\pi * 2 * (x + h)}{(x+h)^2} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{(x+h)^2} \bruch{2 \pi}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi}{x} [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{(x+h)^2}
[/mm]
[mm] (x^2 [/mm] * cos [mm] \bruch{\pi}{x^2} [/mm] = 2x cos [mm] \bruch{\pi}{x^2} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + sin [mm] \bruch{\pi}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{2 \pi x}{x^2}
[/mm]
(x) = [mm] \bruch{2\pi}{x} [/mm] sin [mm] \bruch{\pi}{x^2} [/mm] + 2x cos [mm] \bruch{\pi}{x^2}
[/mm]
aber irgendwie stecke ich hier jetzt fest.. ich weiß leider nicht wie ich weitermachen muss.
mit hilfe des forums komme ich jedenfalls nicht weiter :(
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Hallo babapapa,
> Zeige: Die Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}, & \mbox{für } x \in (0,1], \\ 0, & \mbox{für } x= 0 \end{cases}[/mm]
>
> ist differenzierbar auf [0,1], aber nicht von beschränkter
> Variation
> Hallo!
>
> Ich musste leider die obige Aufgabe aus einem älteren
> Thread herausziehen, da dieser bereits abgelaufen ist und
> der Titel wohl etwas abschreckte.
>
> Ich beschäftige mich schon etwas länger mit dieser
> Aufgabe aber irgendwie komme ich nicht weiter.
>
> zu zeigen ist hier die Differenzierbarkeit der Funktion f
> auf [0,1] <=> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]
>
>
>
> also:
>
> => [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{(x+h)^2 * cos (\bruch{\pi}{(x+h)^2}) - x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}}{h}[/mm]
> =
>
> => [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{(x^2 + 2hx + h^2) * cos (\bruch{\pi}{(x+h)^2}) - x^2 cos \bruch{\pi}{x^2}}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} [\bruch{x}{h} (cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2})[/mm]
> - [mm]cos(\bruch{\pi}{x^2})[/mm] + 2x [mm]cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2})[/mm] + h
> [mm]cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2})][/mm] = (x)
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{x^2 * ( cos(\bruch{\pi}{(x+h)^2} - cos(\bruch{\pi}{x^2})}{h}[/mm]
> = [mm]x^2 \limes_{h\rightarrow0}[/mm] sin [mm]\bruch{\pi}{(x+h)^2}[/mm] *
> [mm]\bruch{\pi * 2 * (x + h)}{(x+h)^2}[/mm] = [mm]x^2[/mm] sin
> [mm]\bruch{\pi}{(x+h)^2} \bruch{2 \pi}{x^2}[/mm] = [mm]\bruch{2 \pi}{x}[/mm]
> sin [mm]\bruch{\pi}{(x+h)^2}[/mm]
>
> [mm](x^2[/mm] * cos [mm]\bruch{\pi}{x^2}[/mm] = 2x cos [mm]\bruch{\pi}{x^2}[/mm] + [mm]x^2[/mm]
> + sin [mm]\bruch{\pi}{x^2}[/mm] + [mm]\bruch{2 \pi x}{x^2}[/mm]
>
> (x) = [mm]\bruch{2\pi}{x}[/mm] sin [mm]\bruch{\pi}{x^2}[/mm] + 2x cos
> [mm]\bruch{\pi}{x^2}[/mm]
>
>
> aber irgendwie stecke ich hier jetzt fest.. ich weiß
> leider nicht wie ich weitermachen muss.
Uff, ich meine, außerhalb von 0, also auf $(0,1]$ ist die Funktion doch als Produkt diffbarer Funktionen diffbar.
Und für die explizite Berechnung der Ableitung in dem Bereich tut's - falls gewünscht - doch die Produkt-/Kettenregel ...
Zeige lediglich die Differenzierbarkeit im Punkte 0
Berechne also [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}$ [/mm] ...
>
> mit hilfe des forums komme ich jedenfalls nicht weiter :(
Meinst du "Ohne..." ? 
Gruß
schachuzipus
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