Differenzierbarkeit im R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Phobos |
Hallo. Ich habe folgende Funktion gegeben:
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{xy^3}{(x^2+y^2)}, & \mbox{für (x,y)} \not= \mbox{(0,0)} \\ 0, & \mbox{für (x,y)} = \mbox{(0,0)} \end{cases}
[/mm]
Aufgabe:
Zeigen sie, dass die Ableitungen [mm] f_{xy}(0,0) [/mm] und [mm] f_{yx}(0,0) [/mm] existieren und verschieden sind.
Die Existenz von [mm] f_x [/mm] bzw. [mm] f_y [/mm] zeige ich ja durch [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0 + h*e_i)-f(x_0)}{h} [/mm] existiert und ist aus [mm] \IR
[/mm]
Hier:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h,0)}{h}=0
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0,h)}{h}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_x(0,0) [/mm] und [mm] f_y(0,0) [/mm] existiren und haben den Wert 0.
Jetzt mach ich das selbe mit den partiellen Ableitungen:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f_y(h,0)}{h}=0
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f_x(0,h)}{h}=0
[/mm]
Da sollte aber doch was verschiedenes und nicht wieder bei beiden 0 rauskommen, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phobos!
Achtung! Bitte die Aufgabenstellung genau lesen und beachten!
Es ist nach den partiellen Ableitungen [mm] $f_{\red{xy}}$ [/mm] bzw. [mm] $f_{\red{yx}}$ [/mm] an der Stelle $(x; y) \ = \ (0; 0)$ gefragt.
Wie lauten denn Deine partiellen Ableitungen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Do 12.05.2005 | | Autor: | Phobos |
Also für [mm] f_x:
[/mm]
[mm] -\bruch{x^3(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
und [mm] f_y:
[/mm]
[mm] \bruch{xy^2(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 12.05.2005 | | Autor: | Phobos |
[mm] f_{xy} [/mm] = [mm] -\bruch{y^2(3x^4-y^4-6x^2y^2)}{(x^2+y^2)^3}
[/mm]
[mm] f_{yx} [/mm] = [mm] -\bruch{y^2(3x^4-y^4-6x^2y^2)}{(x^2+y^2)^3}
[/mm]
Kommt bei mir das selbe raus. Hab ich falsch differenziert?
Und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_x(0,h)}{h} [/mm] bzw. [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f_y(h,0)}{h} [/mm] sollte mir doch den Wert von [mm] f_{xy} [/mm] bzw. [mm] f_{yx} [/mm] and der Stelle (0,0) liefern, oder nicht?
Wenn ich bei [mm] f_{xy}, [/mm] x gegen 0 gehen lasse, dann weiß ich ja nacher nur ob sie stetig oder unstetig in 0 ist.
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Hallo!
Der Grund, warum [mm] $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$ [/mm] für [mm] $(x,y)\ne [/mm] 0$ ist, dass $f$ dort stetig diffbar ist und der Satz von Schwartz...
Um [mm] $f_{x,y}(0,0)$ [/mm] zu berechnen, bildest du den Differenzenquotienten:
[mm] $f_{x,y}(0,0)=\lim\limits_{h\to 0} \bruch{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}$. [/mm] Jetzt einfach einsetzen und ausrechnen... Und für [mm] $f_{y,x}(0,0)$ [/mm] genauso...
Zum Vergleich: Ich bekomme [mm] $f_{x,y}(0,0)=1$, $f_{y,x}(0,0)=0$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Phobos |
Hab ich auch so gemacht. Bei mir ist für beide 0 rausgekommen. Hab ich mich wohl verrechnet. Jetzt weiß ich auf jeden Fall, dass der Rechenweg richtig war. Danke!
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