Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Di 28.06.2005 | | Autor: | Lilith |
Hallo nochmal!
Ich habe hier mit einer Aufgabe so meine Schwierigkeiten und wäre über ein paar Tipps sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Einmal ist eine Funktion f : [mm] \IR \to\IR [/mm] definiert durch f (x) = [mm] x^{4} [/mm] - 2x.
Die Frage ist dann an welcher Stelle [mm] x_{0} [/mm] die Funktion f eine Tangente mit Steigung m = 2 hat.
In der Vorlesung habe ich gefunden, das die Tangentensteigung die erste Ableitung der FUnktion ist, also Tangentensteigung = [mm] f´(x_{0}), [/mm] kann ich dann da einfach die erste Ableitung bilden und diese dann gleich 2 setzen?
Im zweiten Teil der Aufgabe ist dann eine Funktion f : (0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] mit f (x) := [mm] \begin{cases} 2/x, & \mbox{für } 0 < x \le 2 \\ ax - 2a + 1, & \mbox{für } x > 2 \end{cases} [/mm]
gegeben. Die Frage ist dann wie a [mm] \in \IR [/mm] gewählt werden muss damit die Funktion bei x = 2 differenzierbar wird.
Wie muss ich hier vorgehen? Einfach mal für x 2 einsetzen? Wäre sehr dankbar für ein paar Anhaltspunkte.
Schon mal danke im vorraus.
Liebe Grüße,
Lilith
|
|
| |
|
> Hallo nochmal!
Auch von mir: Hallo nochmal ... 
> Einmal ist eine Funktion f : [mm]\IR \to\IR[/mm] definiert durch f
> (x) = [mm]x^{4}[/mm] - 2x.
> Die Frage ist dann an welcher Stelle [mm]x_{0}[/mm] die Funktion f
> eine Tangente mit Steigung m = 2 hat.
>
> In der Vorlesung habe ich gefunden, das die
> Tangentensteigung die erste Ableitung der FUnktion ist,
> also Tangentensteigung = [mm]f´(x_{0}),[/mm] kann ich dann da
> einfach die erste Ableitung bilden und diese dann gleich 2
> setzen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau so geht's ...
> Im zweiten Teil der Aufgabe ist dann eine Funktion f : (0,
> [mm]\infty) \to \IR[/mm] mit f (x) := [mm]\begin{cases} 2/x, & \mbox{für } 0 < x \le 2 \\ ax - 2a + 1, & \mbox{für } x > 2 \end{cases}[/mm]
> gegeben. Die Frage ist dann wie a [mm]\in \IR[/mm] gewählt werden
> muss damit die Funktion bei x = 2 differenzierbar wird.
>
> Wie muss ich hier vorgehen? Einfach mal für x 2 einsetzen?
> Wäre sehr dankbar für ein paar Anhaltspunkte.
Zunächst einmal muß für die Differenzierbarkeit die Funktion auch in [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ stetig sein (Voraussetzung für Differenzierbarkeit).
Es muß also gelten: [mm] $\limes_{x\rightarrow2-}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow2+}f(x) [/mm] \ = \ f(2)$
Damit die Funktion auch differenzierbar ist, müssen die entsprechenden Grenzwerte der 1. Ableitung auch übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow2-}f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow2+}f'(x)$
[/mm]
Kommst Du nun etwas weiter?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Di 28.06.2005 | | Autor: | Lilith |
Danke danke für dich schnellen Antworten.
Werde gleich mal gucken wie weit ich nun damit komme :)
Liebe Grüße,
Lilith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 28.06.2005 | | Autor: | Quintana |
Kann es sein, dass a beliebig wählbar ist, die Funktion also für alle a bei [mm] x_{0}=2 [/mm] stetig ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Quintana!
Bei der Stetigkeit magst Du ja Recht haben.
Aber was ist mit der Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 2$ ??
Das gilt nämlich nicht für beliebiges a !!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 28.06.2005 | | Autor: | Quintana |
Mal auf die Schnelle:
Für a= -0,5 an der Stelle [mm] x_{0}=2 [/mm] ist die Funktion differenzierbar??? Ich bin da jetzt auch nicht so besonders sicher in solchen Angelegenheiten...
|
|
|
| |
|
Hallo Quintana!
> Für a= -0,5 an der Stelle [mm]x_{0}=2[/mm] ist die Funktion
> differenzierbar???
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt genau!
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
