Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie alle Punkte $a [mm] \in \IR$, [/mm] in denen die Funktion [mm] $f(x)=(e^{x}-1)|x|$ [/mm] differenzierbar ist. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] eine Funktion mit [mm] $|f(x)|\le x^{2}$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm]
Beweisen Sie, dass $f$ in $0$ differenzierbar ist und $f'(0)=0$. |
Hallo ;)
Zu 1.):
Zu untersuchen ist doch bei der Funktion der kritische Punkt x=0 oder ?
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{(e^{x+h}-1)|x+h|-(e^{x}-1)|x|}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{(e^{h}-1)|h|}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}
[/mm]
1. Fall: h>0
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} -e^{h}|h|
[/mm]
2.Fall: h<0
[mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{-h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} e^{h}|h|
[/mm]
f(x) ist in x=0 nicht differenzierbar, da [mm] e^{h}|h|\not=-e^{h}|h| [/mm] ist.
Stimmt das so ungefähr oder ist es total falsch?
Zu 2.):
Wie mache ich sowas denn, wenn ich keine genaue Funktion habe, sondern nur gesagt ist, dass f(x) [mm] \le x^{2} [/mm] ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jansen!
Du darfst hier bei der Voraussetzung nicht die Betragsstriche unterschlagen. Es gilt auch mit Kenntnis über die Betragsfunktion:
$$0 \ [mm] \le [/mm] \ |f(x)| \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x^2$$
[/mm]
Damit erhältst Du auch schnell zwangsläufig, dass gilt: $f(0) \ = \ 0$ .
Nun einfach mal den Differentialquotienten aufstellen und abschätzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
Differenzenquotienten: [mm] \bruch {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
untersucht werden muss die Funktion an der Stelle [mm] x_{0}=0
[/mm]
Also: [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x}
[/mm]
Aber wie kann man das denn abschätzen?
Entschuldige aber ich versteh das irgendwie nicht.
LG
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Hallo,
schätze mal gegen die beiden folgenden Funktionen ab:
[mm]g(x)=0,\ h(x)=x^2[/mm]
Was weißt Du dann über $ f'(0) $?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
Okay hab ich gemacht :)
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
g(x)=0 , Stelle x=0 prüfen
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h)}{h}= [/mm] 0
[mm] h(x)=x^{2}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(h)}{h} [/mm] =
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{h^{2}}{h} [/mm] =
[mm] \limes_{h\rightarrow0} [/mm] h = 0
Also ist f'(0)=0.
Und f ist an der Stelle x=0 differenzierbar?
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Hi,
fast gut.
Du müsstest noch eine Beziehung zwischen |f(x|, |g(x)| und |h(x)| sowie zwischen |f'(x)|, |g'(x)| und |h'(x)| herstellen, um wirklich zu wissen, dass f'(0)=0 ist. Dazu musst Du erst einmal zeigen, dass |f'(0)|=0 ist.
Denk mal drüber nach...
lg
rev
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Hallo Jansen88,
> 1.)Bestimmen Sie alle Punkte a [mm]\in \IR,[/mm] in denen die
> Funktion
> [mm]f(x)=(e^{x}-1)|x|[/mm] differenzierbar ist.
>
> Zu 1.):
> Zu untersuchen ist doch bei der Funktion der kritische
> Punkt x=0 oder ?
Ja, richtig.
> [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] =
Das fängt nicht gut an. Du willst doch bei [mm] x_0=0 [/mm] untersuchen, und nicht für alle x. Außerdem interessiert hier nur [mm] h\to \blue{0}, [/mm] nicht aber gegen unendlich.
> [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{(e^{x+h}-1)|x+h|-(e^{x}-1)|x|}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{(e^{h}-1)|h|}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}[/mm]
Schön. Außer dass h sich nicht in die richtige Richtung bewegt, ist das jedenfalls der zu untersuchende Grenzwert.
> 1. Fall: h>0
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} -e^{h}|h|[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Du weißt doch, was |h| ist. So stimmt das jedenfalls nicht.
> 2.Fall: h<0
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{-h}[/mm] =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} e^{h}|h|[/mm]
Dito.
> f(x) ist in x=0 nicht differenzierbar, da
> [mm]e^{h}|h|\not=-e^{h}|h|[/mm] ist.
Das hast Du noch nicht gezeigt.
> Stimmt das so ungefähr oder ist es total falsch?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Jansen88 |
> Hallo Jansen88,
>
> > 1.)Bestimmen Sie alle Punkte a [mm]\in \IR,[/mm] in denen die
> > Funktion
> > [mm]f(x)=(e^{x}-1)|x|[/mm] differenzierbar ist.
> >
> > Zu 1.):
> > Zu untersuchen ist doch bei der Funktion der kritische
> > Punkt x=0 oder ?
>
> Ja, richtig.
>
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] =
>
> Das fängt nicht gut an. Du willst doch bei [mm]x_0=0[/mm]
> untersuchen, und nicht für alle x. Außerdem interessiert
> hier nur [mm]h\to \blue{0},[/mm] nicht aber gegen unendlich.
Stimmt entschuldige, ich hatte vergessen das uneendlich gegen 0 zu tauschen.
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{(e^{x+h}-1)|x+h|-(e^{x}-1)|x|}{h}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{(e^{h}-1)|h|}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}[/mm]
>
> Schön. Außer dass h sich nicht in die richtige Richtung
> bewegt, ist das jedenfalls der zu untersuchende Grenzwert.
> > 1. Fall: h>0
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} -e^{h}|h|[/mm]
>
> Du weißt doch, was |h| ist. So stimmt das
> jedenfalls nicht.
da h>0 ist: [mm] \limes_{h\rightarrow0} -e^{h}*h [/mm]
aber da [mm] h\to [/mm] 0, ist der Grenzwert dann auch 0 oder?
> > 2.Fall: h<0
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{-h+e^{h}|h|}{-h}[/mm] =
> > [mm]\limes_{h\rightarrow\infty} e^{h}|h|[/mm]
>
> Dito.
Genauso ist es dann auch bei h<0, wenn [mm] h\to [/mm] 0.
> > f(x) ist in x=0 nicht differenzierbar, da
> > [mm]e^{h}|h|\not=-e^{h}|h|[/mm] ist.
>
> Das hast Du noch nicht gezeigt.
Also ist f überall differenzierbar?
> lg
> reverend
Danke schön und lg reverend!
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Hallo nochmal,
hmpf...
Du stehst hier:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}
[/mm]
Für h>0 gilt |h|=h, also
[mm] \limes_{h\rightarrow 0_+} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0_+} \bruch{e^{h}h-h}{h}=\limes_{h\rightarrow 0_+} e^{h}-1=0
[/mm]
Für h<0 gilt |h|=-h, also
[mm] \limes_{h\rightarrow 0_-} \bruch{e^{h}|h|-|h|}{h}=\limes_{h\rightarrow 0_-} \bruch{-e^{h}h+h}{h}=\limes_{h\rightarrow 0_-} -e^{h}+1=0
[/mm]
Die 1 habe ich in Deiner Rechnung vermisst. Sie hätte auch nach Ausklammern von |h| in einer Klammer im Zähler stehen können.
Jedenfalls zeigt sich, dass die Funktion in [mm] x_0=0 [/mm] stetig differenzierbar ist. So sieht ihr Graph in der Nähe des Ursprungs aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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