Differenzierbarkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Do 12.02.2009 | | Autor: | SGAdler |
| Aufgabe | In welchen Punkten [mm] x\in\sub [/mm] D(tan) ist die Tangensfunktion differenzierbar (mit Beweis)?
Berechnen sie in diesen Punkten die Ableitung. |
Also nicht differenzierbar ist sie in unmittelbarer Nähe von [mm](2n-1)* \bruch{\pi}{2}[/mm].
Aber wie beweise ich das bzw. wie schreibe ich das ordentlich auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Do 12.02.2009 | | Autor: | glie |
> In welchen Punkten [mm]x\in\sub[/mm] D(tan) ist die Tangensfunktion
> differenzierbar (mit Beweis)?
> Berechnen sie in diesen Punkten die Ableitung.
> Also nicht differenzierbar ist sie in unmittelbarer Nähe
> von [mm](2n-1)* \bruch{\pi}{2}[/mm].
> Aber wie beweise ich das bzw.
> wie schreibe ich das ordentlich auf?
Hallo,
also es gilt [mm] f(x)=tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}
[/mm]
Nachdem sin(x) und cos(x) differenzierbare Funktionen sind, ist auch der Quotient aus zwei differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar, allerdings nur für diejenigen x, für die der Nenner, in unserem Fall also cos(x) ungleich Null ist.
Also ist tan(x) differenzierbar für alle x [mm] \in \IR \backslash \{t \in \IR | t=\bruch{\pi}{2}+k* \pi, k \in \IZ \}
[/mm]
Achtung mit deiner Formulierung, denn in unmittelbarer Nähe der Definitionslücken ist tan(x) sehr wohl differenzierbar, nur eben nicht AN den Definitionslücken.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Do 12.02.2009 | | Autor: | SGAdler |
Ja tatsächlich, du hast Recht, danke. ^^
Aber wie beweise ich, dass Sinus und Cosinus differezierbar sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 12.02.2009 | | Autor: | glie |
> Ja tatsächlich, du hast Recht, danke. ^^
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> Aber wie beweise ich, dass Sinus und Cosinus differezierbar
> sind?
Also wenn du das beweisen willst, dann müsstest du etwa zeigen, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow o}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] existiert
Gruß Glie
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