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Differenzierbarkeit: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mi 05.11.2008
Autor: Tatze18

Aufgabe
Bestimme, ob die FUnktion an der Stelle x=0 differenzierbar ist!

a) f(x)= x² für [mm] x\le [/mm] 0
         x³ für x >  0

b) f(x)= -x²+2x+1 für [mm] x\le [/mm] 0
          x²+2x+1 für x > 0

c) f(x)= 2x²+1 für [mm] x\le [/mm] 0
         x³+1  für x > 0

d) f(x) = x² - [mm] \left| x \right| [/mm]

e) f(x)=  [mm] \left| x \right|³ [/mm]

Hallo an alle: Ich habe mich mal an die Aufgaben gemacht und würde mich freuen, wenn der Eine oder Andere mal einen Blick drauf werfen könnte:

a) linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-0}{x-0} [/mm] = x

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³-0}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

b)
linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²+2x+1 - 1}{x-0} [/mm] = x+2

x [mm] \to [/mm] 0 --> 2

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x²+2x+1 - 1}{x-0} [/mm] = -x+2

x [mm] \to [/mm] 0 --> 2

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

c)

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{2x²+1-1}{x-0} [/mm] = 2x

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³+1-1}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

d)
f(x)=    x²+x für [mm] x\le [/mm] 0
         x²-x für x >  0

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] ?bruch{x²+x-0}{x-0} = x+1

x [mm] \to [/mm] 0 --> 1

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-x-0}{x-0} [/mm] = x-1

x [mm] \to [/mm] 0 --> -1



Die Funktion ist nicht differenzierbar w.z.b.w.

e)

d)
f(x)=    -x³ für [mm] x\le [/mm] 0
         x³  für x >  0

linksseitige Betrachtung:

f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x³}{x-0} [/mm] = -x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0

rechtsseitig:


f'(0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³}{x-0} [/mm] = x²

x [mm] \to [/mm] 0 --> 0



Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.


Hoffe, ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen ;)





        
Bezug
Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Mi 05.11.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Hallo an alle: Ich habe mich
> mal an die Aufgaben gemacht und würde mich freuen, wenn der
> Eine oder Andere mal einen Blick drauf werfen könnte:

> a) linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-0}{x-0}[/mm] = x
>
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0

Ich will nur einmal richtig meckern, was die Schreibweise betrifft:
Ein Limes ist eine Zahl, und keine Funktion. Wenn du einen linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert hast, kannst du auch spezielle Schreibweisen verwenden:

[mm] \lim_{x\rightarrow 0-} [/mm]   - linksseitig
[mm] \lim_{x\rightarrow 0+} [/mm]   - rechtsseitig

Hier musst du nun also schreiben:

f'(0) = [mm] \lim_{x\rightarrow 0-} \bruch{x^{2}-0}{x-0} [/mm] = [mm] \lim_{x\rightarrow 0} [/mm] (x) = 0.

Im Folgenden überprüfe ich nur noch die Ergebnisse.

>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³-0}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

[ok]




> b)
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²+2x+1 - 1}{x-0}[/mm] = x+2
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 2
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x²+2x+1 - 1}{x-0}[/mm] = -x+2
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 2
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

Alles richtig [ok].



> c)
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{2x²+1-1}{x-0}[/mm] = 2x
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³+1-1}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.

[ok]




> d)
>  f(x)=    x²+x für [mm]x\le[/mm] 0
>           x²-x für x >  0
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] ?bruch{x²+x-0}{x-0} = x+1
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 1
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x²-x-0}{x-0}[/mm] = x-1
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> -1
>  
> Die Funktion ist nicht differenzierbar w.z.b.w.

Genau [ok]



> e)
>  
> d)
>  f(x)=    -x³ für [mm]x\le[/mm] 0
>           x³  für x >  0
>  
> linksseitige Betrachtung:
>  
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{-x³}{x-0}[/mm] = -x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
> rechtsseitig:
>
>
> f'(0)
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x³}{x-0}[/mm] = x²
>  
> x [mm]\to[/mm] 0 --> 0
>  
>
>
> Die Funktion ist differenzierbar w.z.b.w.
>  

Auch richtig! [ok]
Die Berechnung usw. klappen also alle, nur noch die Schreibweise üben :-)

Stefan.

Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Mi 05.11.2008
Autor: Tatze18

Ich bedanke mich rechtherzlich, das mit der Schreibweise werd ich mir merken, hier im Forum ist es ein bisschen schwierig, mit den ganzen html-Befehlen, aber dein Rat hilft mir weiter!

Danke
Bezug
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