Differenzierbark. einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Di 08.05.2012 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Zeigem Sie, dass f(x)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}} [/mm] differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f. |
Hallo hallo.
Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:
f'(x) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}}
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Differenzierbarkeit zeige.
Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?
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Hallo Calculu,
> Zeigem Sie, dass f(x)= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}}[/mm]
> differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.
> Hallo hallo.
>
> Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:
>
> f'(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}}[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die Differenzierbarkeit zeige.
> Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?
So ist es. Dann darf man Summation und Differentiation vertauschen.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigem Sie, dass f(x)= [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}+x^{2}}[/mm]
> differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung von f.
> Hallo hallo.
>
> Also, mit der Ableitung habe ich kein Problem. Die lautet:
>
> f'(x) = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{-2x}{(k^{2}+x^{2})^{2}}[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nicht genau wie ich die
> Differenzierbarkeit zeige.
> Reicht es eine gleichmäßige Konvergenz zu zeigen?
Es ist die glm. Konvergenz von 2 Reihen zu zeigen:
http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/book/node155.html
Korollar 7.31
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Calculu |
Vielen Dank euch beiden. Das hat mir schon viel geholfen. Ich werde nachher versuchen die Aufgabe zu lösen.
Danke!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:16 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
So, ich habe nun folgendes aufgeschrieben um die glm. Konvergenz der Reihe zu zeigen:
[mm] |\bruch{1}{k^{2}+x^{2}}| \le \bruch{1}{k^{2}} [/mm] := [mm] c_{k}
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} c_{k} [/mm] konvergiert nach dem Integralkrit., denn: [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{2}} [/mm]
[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [\bruch{-1}{x}]_{0}^{a} [/mm] = 1 < [mm] \infty
[/mm]
Mit dem Majorantenkrit folgt die glm. Konvergenz.
Reicht das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 11.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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