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| Aufgabe | | Man Zeige, dass die Gleichung y * [mm] e^y^-^x [/mm] = 1 eine differenzierbare Funktion y=f(x), f:IR ---> IR beschreibt und bestimme f '(x) als Funktion von x und y. |
Hallo, wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
Ich vermute, es hat etwas mit dem Satz von der implizierten Funktion zutun. Aber ich kann es irgendwie nicht anwenden.
Ich würde als erstes die 1 rüber bringen. dann hätte ich
y * [mm] e^y^-^x-1=0 [/mm] und danach wüsste ich nicht mehr weiter.
LG
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Hallo ellegance88,
> Man Zeige, dass die Gleichung y * [mm]e^y^-^x[/mm] = 1 eine
> differenzierbare Funktion y=f(x), f:IR ---> IR beschreibt
> und bestimme f '(x) als Funktion von x und y.
> Hallo, wie gehe ich an diese Aufgabe ran?
> Ich vermute, es hat etwas mit dem Satz von der
> implizierten Funktion zutun. Aber ich kann es irgendwie
> nicht anwenden.
> Ich würde als erstes die 1 rüber bringen. dann hätte
> ich
> y * [mm]e^y^-^x-1=0[/mm] und danach wüsste ich nicht mehr
> weiter.
>
Wenn Du die Ableitung der differnzierbaren Funktion berechnen willst,
musst Du y=f(x) einsetzen und dann nach x ableiten.
Voraussetzung ist aber, daß die Funktion
[mm]F\left(x,y\right)=y*e^{y-x}-1[/mm]
stetig differenzierbar ist.
> LG
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 09.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Setze
$ [mm] F\left(x,y\right):=y\cdot{}e^{y-x}-1 [/mm] $
zeige nun, dass F(1,1)=0 und [mm] F_y(1,1) \ne [/mm] 0 ist. Der Satz über implizit def. Funktionen besagt nun:
es gibt eine Umgebung U von x=1 und genau eine stetig differenzierbare Funktion f:U [mm] \to \IR [/mm] mit:
f(1)=1 und F(x,f(x))=0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
Also:
[mm] f(x)*e^{f(x)-x}=1 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] U.
FRED
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