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| Aufgabe | Seien f,g gegeben sodass die Zusammensetzung g [mm] \circ [/mm] f in einer Umgebung von x Sinn macht. Ist nun f an der STelle x differenzierbar, und g an der Stelle f(x) differenzierbar, so ist g [mm] \circ [/mm] f an der STelle x differenzierbar und es gilt
(g [mm] \circ [/mm] f) ' (x) = g'(f(x)) f'(x) |
Hallo.
WIr sollen es nicht mit den Differenzenquotient machen, das haben wir in der Vorlesung erledigt. Sondern mit dieser Umformulierten Definiton:
Def:.f:(a,b) -> $ [mm] \IR [/mm] $ ist differenzierbar in x $ [mm] \in [/mm] $ (a,b) genau dann wenn es eine Zahl $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $ sodass die durch
R(h) = f(x+h) - f(x)- $ [mm] \lambda [/mm] $ h,
für h $ [mm] \in (-\sigma,\sigma) [/mm] $ für ein $ [mm] \delta>0 [/mm] $ defenierte Funktion R die Eigenschaft hat, dass
$ [mm] lim_{h->0} \frac{R(h)}{h}=0 [/mm] $
die Zahl $ [mm] \lambda [/mm] $ ist eindeutig bestimmt, und $ [mm] \lambda [/mm] $ =f'(x)
Nun ist [mm] R_3(h_3) [/mm] = (g [mm] \circ [/mm] f) [mm] (x+h_3) [/mm] - (g [mm] \circ [/mm] f) (x) - [mm] \lambda_3 h_3
[/mm]
ZuZeigen.: [mm] lim_{h_3 ->0} \frac{R_3(h_3)}{h_3}=0
[/mm]
Ich weiß : für [mm] R_1 (h_1) =f(x+h_1) [/mm] - f(x)- $ [mm] \lambda_1 [/mm] $ [mm] h_1, [/mm] $ [mm] lim_{h_1->0} \frac{R_1(h_1)}{h_1}=0 [/mm] $
und für [mm] R_2 (h_2) =g(f(x)+h_2) [/mm] - g(f(x))- $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ [mm] h_2, [/mm] $ [mm] lim_{h_2->0} \frac{R_2(h_2)}{h_2}=0 [/mm] $
Ich schaff das nicht so wirklich.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
drücke h2=f(x+h)-f(x) durch h1, [mm] R1,\lambda_1 [/mm] aus.
Gruss leduart
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