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| Aufgabe | Aus 2 Brettern mit der Breite a soll eine Rinne von möglichst großem Querschnitt Q gebildet werden. Wie groß muss der Winkel Alpha gewählt werden?
Anleitung: Die Querschnittsfläche Q ist gleich dem halben Produkt zweier Seitenlängen a und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels ... |
Hallo ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen ...
a = gegeben
HB:
A = h * [mm] \bruch{b}{2}
[/mm]
NB:
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{b}{2}}{a}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{2a}
[/mm]
[mm] \bruch{b}{2} [/mm] = [mm] sin\alpha [/mm] * a
in HB:
A = h * [mm] sin\alpha [/mm] * [mm] cos\alpha
[/mm]
A = [mm] a^{2} [/mm] * [mm] sin\alpha [/mm] * [mm] cos\alpha
[/mm]
A = [mm] \bruch{a^{2} * 2sin\alpha * cos\alpha }{2}
[/mm]
A = [mm] \bruch{a^{2} * sin2\alpha }{2}
[/mm]
So ... meine Lehrerin leitet jetzt irgendwie auf ...
[mm] cos2\alpha [/mm] * a
ab ...
ich weiss aber nicht wie ... da würd ich eure hilfe brauchen 
desweiteren kommt sie dann auf [mm] \alpha [/mm] = 45° ... auch hier weiss ich nicht, wie sie auf das kommt ...
danke für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Laut Anmerkung (oder Tafelwerk ODER eigener Herleitung ;) ) gilt:
[mm] Q=\bruch{1}{2}a²*sin(\beta), [/mm] wenn [mm] \beta [/mm] der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Seiten ist.
Aber ich nehme mal an, dass [mm] \alpha [/mm] bei euch die Hälfte dieses eingeschlossenen Winkels ist (wegen deiner Formel und auch dem Ergebnis).
Also ist deine Formel richtig, [mm] Q=\bruch{1}{2}a²*sin(2\alpha).
[/mm]
Aber ab hier kannst du auch bequem ohne Ableitung arbeiten.
Es ist richtig, [mm] sin(2\alpha) [/mm] einmal ableitet liefert [mm] cos(2\alpha)*2 [/mm] (mit der Kettenregel!), der Rest deiner Formel bleibt gleich.
[mm] Q(\alpha)=\bruch{1}{2}a²*sin(2\alpha)
[/mm]
[mm] Q'(\alpha)=\bruch{1}{2}a²*cos(2\alpha)*2=a²*cos(2\alpha),
[/mm]
was du dann ja =0 setzen musst.
Von da aus kannst du durch a² teile, da die Längen ja nicht 0 betragen.
Im Endeffekt musst du also [mm] cos(2\alpha)=0 [/mm] lösen.
Wenn du eine Variante ohne Ableitung hier bevorzugst:
Wenn du dir die Formel für Q anguckst:
[mm] Q(\beta)=\bruch{1}{2}a²*sin(\beta)
[/mm]
[mm] (\beta [/mm] ist bei mir der ganze Winkel, der von de beiden Seiten eingeschlossen wird, nicht nur der halbe!)
Dann hängt der Flächeninhalt ja nur von diesem [mm] sin(\beta)-Term [/mm] ab, der Rest ist ja konstant, also die [mm] \bruch{1}{2}a².
[/mm]
Also wird die Fläche extrem, wenn [mm] sin(\beta) [/mm] im Intervall von 0° bis 180° maximal wird (das Intervall sollte man sich schon vorher klar machen!). Und wo wird die Sinusfunktion maximal in dem Intervall?
Bei 90°, wo sie den Wert 1 erreicht ;)
Solche Betrachtung helfen dir manchmal auch ganz gut weiter.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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hallo ...
danke erstmals ... aber ich habe noch so einige Verständnisprobleme ...
wenn ich die Kettenregel anwende ... bekomme ich für
[mm] \bruch{a^{2}*sin2\alpha}{2}
[/mm]
folgende 1ste Ableitung heraus ...
2a * [mm] cos2\alpha
[/mm]
Ist das richtig??? Meine Lehrerin hat nämlich a * [mm] cos2\alpha [/mm] rausbekommen. Hat sie da einen Fehler gemacht???
Und dann versteh ich nicht, wie ich jetzt rechnerisch auf den Winkel komme?
Danke für deine Hifle
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Hi,
Deine Lehrerin hat sich bei der Ableitung wohl etwas vertan. Zu differenzieren ist [mm] \bruch{a^{2}\cdot\\sin(2\alpha)}{2}. [/mm] Wir differenzieren nach [mm] \alpha.
[/mm]
Den Bruch können wir auch wie folgt aufschreiben.
[mm] \bruch{a^{2}}{2}\cdot\\sin(2\alpha).
[/mm]
Wir können mit der Produktregel ableiten, dann ist:
[mm] \\u=\bruch{a^{2}}{2}
[/mm]
[mm] \\u'=0
[/mm]
[mm] v=\\sin(2\alpha)
[/mm]
[mm] \\v'=2\cdot\\cos(2\alpha)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \\f'(\alpha)=u'v+uv'=0\cdot\\sin(2\alpha)+\bruch{a^{2}}{2}\cdot\\2\cdot\\cos(2\alpha)=a^{2}\cdot\\cos(2\alpha)
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Vielen Dank ... Das hat mir schon mal alles sehr weitergeholfen ...
nur versteh ich nun noch nicht, wie ich auf alpha = 45° komme ...
wenn ich
A' = [mm] a^{2} [/mm] * [mm] cos2\alpha [/mm] habe ...
danke und lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo mansonfreak,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Aus der Gleichung [mm] $A'(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] a^2*\cos(2*\alpha) [/mm] \ = \ 0$ folgt doch unmittelbar:
[mm] $$\cos(2*\alpha) [/mm] \ = \ 0$$
Und da gilt [mm] $\cos(90°) [/mm] \ = \ 0$ erhalten wir daraus: [mm] $2*\alpha [/mm] \ = \ 90°$ .
Gruß
Loddar
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