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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a eine Konstante.
[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = at; [mm] u(t_0) [/mm] = [mm] u_0$ [/mm] |
Guten Tag.
ich kenne unter anderem die Pfaffsche Form einer DGL, diese lautet $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
Das kann ich jetzt leider nicht auf unser Biepsil übertragen.
Ich setze beide Sachen einmal gleich
[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = [mm] u(t_0) [/mm] $
$at = [mm] u_0$
[/mm]
Dann dividiere ich die erste durch die zweite
[mm] $\br{du}{dt*at} [/mm] = [mm] \br{u(t_0)}{u_0}$
[/mm]
Ich denke, das ist auf jedenfall schon falsch. Also mache ich mal folgendes:
[mm] $(u_0) [/mm] = [mm] \br{du}{dt}$
[/mm]
Das hilft mir alles nicht weiter.
Kann mir mal jemand die ersten paar Schritte zeigen? Wobei das wird wahrscheinlich ein Zweizeiler sein. Je mehr desto besser
Danke
Grüße Phoney
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Hallo Phoney,
[mm]\bruch{du}{dt} = at ~ | * dt[/mm]
[mm]du = at dt[/mm]
[mm]u(t) = \bruch{a}{2} t^{2} + C[/mm] (*)
Randbedingung einsetzen, nach C auflösen, dieses C bei (*) ersetzen, fertig.
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 22:02 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
die Lösug ist nicht [mm] u(t)=a/2*t^2 [/mm] sondern [mm] u(t)=a/2*t^2+C, [/mm] a vorgegeben, C aus den Anfangsbed.
Gruss leduart
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ich war schneller mit der Korrektur - ist mir grad beim Zähneputzen eingefallen ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke schon einmal für die Antwort, ich hoffe, es verstanden zu haben, bin mir aber unsicher
$ u(t) = [mm] \bruch{a}{2} t^{2} [/mm] + C $ (*)
Hier setze ich jetzt also [mm] u(t_0) [/mm] = [mm] u_0 [/mm] ein.
[mm] u(t_0) [/mm] = [mm] \bruch{a}{2} t_0^{2} [/mm] + C = [mm] u_0 [/mm] \ righarrow [mm] u_0 [/mm] - [mm] \bruch{a}{2} t_0^{2} [/mm] =C$
Und jetzt soll ich es für C einsetzen. Quasi als Probe?
$ u(t) = [mm] \bruch{a}{2} t^{2} [/mm] + [mm] u_0 [/mm] - [mm] \bruch{a}{2} t_0^{2}$ [/mm]
[mm] $u(t_0) [/mm] = [mm] u_0$
[/mm]
Richtig so?
Was ist denn jetzt die allgemeine Lösung und die spezielle Lösung?
Schönen Gruß
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hallo Phoney,
genauso.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Do 26.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
Um auch die Begrifflichkeiten zu verstehen:
$ u(t) = [mm] \bruch{a}{2} t^{2} [/mm] + [mm] u_0 [/mm] - [mm] \bruch{a}{2} t_0^{2} [/mm] $ das ist die allgemeine Lösung
Und das dann die spezielle: $ [mm] u(t_0) [/mm] = [mm] u_0 [/mm] $
??
Gruß Johann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 26.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoney
> Um auch die Begrifflichkeiten zu verstehen:
>
> [mm]u(t) = \bruch{a}{2} t^{2} + u_0 - \bruch{a}{2} t_0^{2}[/mm] das
> ist die allgemeine Lösung
nur weil [mm] u_0 [/mm] und [mm] t_0 [/mm] nicht gegeben sind, kann man es als allgemeine Lösung bezeichnen. Meist nennt man [mm]u(t) = [mm] \bruch{a}{2} t^{2}+C$
[/mm]
die allgemeine Lösung. für [mm] t_0=0 [/mm] und [mm] u_0 [/mm] =3 hast du dann die spezielle Lösung
[mm]u(t) = \bruch{a}{2} t^{2}+3[/mm]
> Und das dann die spezielle: [mm]u(t_0) = u_0[/mm]
Nein, das ist ja keine Lösung der DGL sondern ein "Anfangswert.
Ich schick mal ein Bild, das deine DGL darstellt. nach oben u, nach rechts t.
an jeder (bzw. vielen) Stellen ist jetzt u'(t) als kleines Richtungsstück eingetragen. (für die Zeichnung ist a=0,5) d.h. für alle u ist bei t=t die Steigung 1 bei t=4 die Steigung 2 usw. Du hast also überall ein "Richtungsfeld" jenachdem wo du jetzt anfängst, kannst du ein Stück weit mit der Steigung gehen, und kommst zum nächsten Richtungspfeil. Wenn du das in Gedanken oder nem Ausdruck machst, bekommst du lauter verschiedene Parabeln. Die allgemeine Lösung ist der Ausdruck für eine beliebige Parabel, eine spezielle Lösung ist wenn du an einem speziellen Punkt anfängst.
Eine spezielle Lösung mit u(1)=3 ist dünn eingetragen.
Ich hoff, das macht dir DGL etwas klarer. (Nicht immer sind die Richtungsfelder ganz so einfach!)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Phoney |
Danke für die Antworten, das Bild und die Ausführungen. Hat mir alles geholfen!!
Gruß
Phoney
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