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Schönen guten Morgen!
Bin ziemlich neu hier und da ich im Moment vor einem größeren Problem stehe, habe ich mir gedacht ich beziehe euch mal mit ein:
Aufgabenstellung: Leite die Funktion [mm] x \to \wurzel{x} [/mm] nur mit Hilfe des Differenzenquotienten ab.
Somit ist die Ableitung über die Umkehrfunktion nicht erlaubt.
Es folgt für die Differenzenquotientenfolge:
[mm] f' (x) = \limes_{x \rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
[mm] = \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{x^{1/2}-x_{0}^{1/2}}{x-x_{0}} [/mm]
Fage: Wer kann mir bei der anschließenden Polynomdivision helfen??? Ich bekomme den Polynom einfach nicht richtig geteilt...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viel Spaß
Marco
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Hi Loddar,
danke für Deine schnelle Antwort. Ich denke mit Deinem Lösungsweg ist die Ableitung zu finden - trotzdem: Es müsste doch auch mit der Polynomdivision gehen...oder? Und wenn ja, wie?
(Ich gehe davon aus, dass mein Korrektor eine Polynomdivision sehen will...und ich ehrlich gesagt auch, hab mich schon darin verbissen und möchte wissen, ob eine Lösung existiert)
Marco
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Hallo, Marco
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") das ist gut, daß Du einen eigenen Weg versuchen willst,![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
für die Polynomdivision sollte Dir aber klar sein daß das "Polynom höheren Grades" der Nenner ist,
und genaugenommen muß man sagen "Polynom in [mm] $x^{1/2}$
[/mm]
die Division also
[mm] $\left( (x^{1/2})^2 - (x_0^{1/2})^2\right)\,:\,(x^{1/2}-x_0^{1/2})$
[/mm]
sein muß ( und für das Ergebnis keine Rechung nötig ist da die bekannte Formel
für a²-b² anwendbar ist )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Leute,
alles klar, dass man hier vielleicht eine Division durchführen kann,
aber bitte vermeidet das Wort "Polynomdivision", denn dabei werden
(wie der Name deutlich sagt!) nur Polynome dividiert!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Schneemann,
> Es folgt für die Differenzenquotientenfolge:
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> [mm]f' (x) = \limes_{x \rightarrow\ x_0} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
>
> [mm]= \limes_{x\rightarrow\ x_0} \bruch{x^{1/2}-x_{0}^{1/2}}{x-x_{0}} [/mm]
>
>
> Fage: Wer kann mir bei der anschließenden Polynomdivision
> helfen??? Ich bekomme den Polynom einfach nicht richtig
> geteilt...
Du brauchst nicht wirklich die Polynomdivision, schließlich stehen im Zähler und Nenner keine Polynome!
Aber du kannst den Bruch so erweitern, dass der Nenner nicht mehr gegen Null geht:
[mm]f' (x) = \limes_{x \rightarrow\ x_0} {\bruch{(f(x)-f(x_{0}))(f(x)+f(x_{0}))}{(x-x_{0})(f(x)+f(x_{0}))}}[/mm]
$ = [mm] \limes_{x \rightarrow\ x_0} {\bruch{x-x_{0}}{(x-x_{0})(\wurzel{x}+\wurzel{x_{0}})}}$
[/mm]
Rechne hiermit mal weiter, dann sollte es gehen, der Nenner wird ja nicht mehr Null. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Schneemann |
Hallo Informix,
diese Antwort stimmt; ich habe denselben Beweis mittlerweile in einem Mathebuch gefunden.
Die Lösung muß ja auf das bekannte Ergebnis leiten:
[mm] f' (x) = \bruch {1}{2 * \wurzel {x}} [/mm]
Danke fürs helfen
Marco
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
