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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:01 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Johann.S |
Hallo,
ich habe eine Frage zur numerischen Differentiation.
Die verwendeten Formeln lassen sich ja aus der Taylorreihe herleiten, bei konstantem Knotenabstand sind die Formeln auch überall zu finden. Wenn ich nun aber keinen konstanten Knotenabstand mehr habe wirds ein bisschen unübersichtlicher. Für einen Differenzenquotienten, der die Knoten i, i+1 und i+2 verwendet bekomme ich die Herleitung noch hin, bei einem symmetrischen Quotienten um i-2,i-1,i,i+1,i+2 siehts schlecht aus.
Die Herleitung mit konstantem Knotenabstand funktioniert, wenn ich die Funktion f um i+2 und i-2 bis zur 4. Ordnung entwickle, gleichsetzte und nach der 3. Ordnung umstelle. Das gleiche mache ich für eine Taylorentwicklung um i+1 und i-1 und sezte dann die Gleichung aus i+2 und i-2 mit der aus i+1 und i-1 gleich und Stelle nach der 1. Ableitung um.
Wenn ich nun keinen konstanten Knotenabstand mehr habe heben sich die 2. Ableitungen in den Taylorreihen aber nicht auf und ich kann nicht so vorgehen wie bei konstantem Knotenabstand. Wenn ich nur bis zur 3. Ordnung entwickle bekomme ich ein Ergebnis, das aber nicht richtig zu sein scheint (Beim Einsatz der Formel kommt Murcks raus). Nun meine eigentliche Frage:
Ist der Weg, nur bis zur 3. Ordnung der Taylorreiche zu gehen richtig und ich sollte nach einem Rechenfehler in meiner Herleitung schauen oder gibt es einen anderen Weg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur numerischen Differentiation.
> Die verwendeten Formeln lassen sich ja aus der Taylorreihe
> herleiten, bei konstantem Knotenabstand sind die Formeln
> auch überall zu finden. Wenn ich nun aber keinen
> konstanten Knotenabstand mehr habe wirds ein bisschen
> unübersichtlicher. Für einen Differenzenquotienten, der
> die Knoten i, i+1 und i+2 verwendet bekomme ich die
> Herleitung noch hin, bei einem symmetrischen Quotienten um
> i-2,i-1,i,i+1,i+2 siehts schlecht aus.
> Die Herleitung mit konstantem Knotenabstand funktioniert,
> wenn ich die Funktion f um i+2 und i-2 bis zur 4. Ordnung
> entwickle, gleichsetzte und nach der 3. Ordnung umstelle.
> Das gleiche mache ich für eine Taylorentwicklung um i+1
> und i-1 und sezte dann die Gleichung aus i+2 und i-2 mit
> der aus i+1 und i-1 gleich und Stelle nach der 1. Ableitung
> um.
> Wenn ich nun keinen konstanten Knotenabstand mehr habe
> heben sich die 2. Ableitungen in den Taylorreihen aber
> nicht auf und ich kann nicht so vorgehen wie bei konstantem
> Knotenabstand. Wenn ich nur bis zur 3. Ordnung entwickle
> bekomme ich ein Ergebnis, das aber nicht richtig zu sein
> scheint (Beim Einsatz der Formel kommt Murcks raus). Nun
> meine eigentliche Frage:
> Ist der Weg, nur bis zur 3. Ordnung der Taylorreiche zu
> gehen richtig und ich sollte nach einem Rechenfehler in
> meiner Herleitung schauen oder gibt es einen anderen Weg.
kannst Du ein wenig genauer erläutern, auf welche Formeln Du hinaus willst und was Du bisher (konkret) gerechnet hast. Es reicht ja "Ansatz+Ergebnis" von Deiner Rechnung, der Rechenweg wäre natürlich auch nicht schlecht, damit man alles genau(er) kontrollieren kann.
Schau' aber ruhig auch nochmal bei Wiki unter "Finite Differenzen" bzw. auf dem von ![[]](/images/popup.gif) dort verlinkten Skript nach. Dort steht eigentlich auch eine Herleitung mit der Taylorreihe; vielleicht wird damit auch Deine Frage schon vollständig beantwortet?
Oder verstehst Du da eine Rechnung nicht?
P.S.:
Bzw. nochmal genauer nachgefragt:
Welche Formeln für "nichtäquidistande Knoten" meinst Du oder willst Du benutzen?
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Johann.S |
Hi,
also alles etwas genauer.
Bei konstanten Knotenabstand gilt für den zentralen Differenzenquotienten 1. Ordnung für die 1. Ableitung:
[mm]f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2)[/mm] (1)
Der kann hergeleitet werden, indem einmal die Taylorreihe um [mm]f(x+h)[/mm] und einmal für [mm]f(x-h)[/mm] bis zum Term [mm] \frac{h^2}{2!}*f''[/mm] berechnet wird. Werden beide Gleichungen nach der 2. Ableitung umgestellt und dann gleichgesetzt, kann nach [mm]f'[/mm] umgestellt werden und es ergibt sich Gleichung (1).
Ich interessiere mich für den zentralen Differenzenquatienten 2. Ordnung. Der sieht bei konstanten Knotenabstand wie folgt aus:
[mm]f'(x)=\frac{-f(x+2h)-8f(x-h)+8f(x+h)+f(x-2h)}{12h}+O(h^4)[/mm] (2)
Der kann wiederum aus der Taylorreihe gewonnen werden. Es werden vier Taylorreihen aufgestellt. Jeweils um [mm]x\pm h[/mm] und um [mm]x\pm 2h[/mm]. Die Reihen werden aber bis zur vierten Ordnung entwickelt. Dann können die Reihen für [mm]x\pm 2h[/mm] und für [mm]x\pm h[/mm] jeweils gleichgesetzt werden und nach [mm]f'''[/mm] umgestellt werden. Da wir immer noch konstante Knotenabstände haben kürzen sich jeweils die [mm]f''[/mm] Terme raus.
Bis hier gibt es also noch 2 Gleichungen, die nach [mm]f'''[/mm] umgestellt sind. Die beiden gleichgesetzt und umgestellt ergeben Gleichung (2).
Soweit ist alles gut und schön, wenn ich nun keine konstanten Abstände habe, heben sich die Terme mit einer graden Ableitung [mm]f''[/mm] nicht mehr auf. Für den zentralen Differenzenquotienten 1. Ordnung ergibt sich dann folgendes Ergebnis:
[mm]f'(x)=\frac{b}{a^2+ab}*(f(x+a)-f(x))-\frac{a}{ba+b^2}*(f(x-b)-f(x)) [/mm]
In dieser Gleichung ist a der Abstand von x in positive Richtung etwa [mm]a=x_{i+1}-x_i[/mm] und b in negative Richtung [mm]b=x-x_{i-1}[/mm].
Da bei verschiedenen Knotenabstand die graden Ableitung nicht mehr wegfallen kann in der Herleitung des zentralen Differenzenquotienten nicht wie oben beschrieben vorgegangen werden, da sonst die 2. Ableitung in der Formel steht.
Also habe ich die Taylorreihe nur bis zur 3. Ableitung entwickelt. Die Reihen nach der dritten Ableitung umgestellt und jeweils für [mm]f(x\pm h) [/mm] und [mm]f(x\pm 2h) [/mm] gleichgesetzt. Dann wieder nach [mm]f''[/mm] umgestellt, gleichgesetzt und nach [mm]f'[/mm] aufgelöst.
Ist diese Vorgehensweise richtig?
Wenn der Weg richtig ist, muss ich wohl nochmal auf die Fehlersuche gehen. Vielleicht kann mir aber jemand sagen ob nicht die Herangehesweise schon falsch ist.
P.S.: Die Herleitung mit der Taylorreihe aus WIKI und dem Skript kenn ich, aber dort wird eigentlich immer vom konstantem Knotenabstand [mm]h[/mm] ausgegangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was an deiner Formel direkt auffällt für a=b=h geht sie nicht in die mit äquidist. punkten über,
Die Formel selbst hab ich nicht überprüft. eigentlich müsste einfach der punkt mit dem größeren Abstand mit einem kleineren Gewicht eingehen
ich denk es ist nur das - in der Mitte falsch. du nimmst das gewichtete Mittel der SehnenSteigung zwischen a und x also
[mm] \frac{f(x+a)-f(x)}{a} [/mm] und der Steigung [mm] \frac{f(x)-f(x-b)}{b}
[/mm]
die Gewichte sind [mm] \frac{b}{a+b} [/mm] und [mm] \frac{a}{a+b} [/mm] damit kriegst du die steigung in x für eine Parabel genau. das ergibt deine Formel, aber mit + statt -
Um eine Formel 2. Ordnung zu finden, musst du nur wieder die Gewichte der 4 Steigungen so verteilen, dass du für [mm] x^3 [/mm] bei 0 die Steigung 0 rauskriegst. und sie die quadrat. fkt schon richtig liefern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Johann.S |
Hallo Leduart,
danke für deine Antwort, aber die angegebene Fromel (1. Ordnung) müsste eigentlich so stimmen:
[mm]f'(x)=\frac{b}{a^2+ab}\cdot{}(f(x+a)-f(x))-\frac{a}{ba+b^2}\cdot{}(f(x-b)-f(x))[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{h}{2h^2}\cdot{}(f(x+a)-f(x))-\frac{h}{2h^2}\cdot{}(f(x-b)-f(x))=\frac{1}{2h}\cdot(f(x+a)-f(x-b))[/mm]
Das mit der Gewichtung sehe ich genauso, ist aber nicht so einfach. Das von dir angegebene gewichtete Mittel ([mm] \frac{a}{a+b} [/mm]) klappt zum Beispiel nicht. Das Problem ist, dass die Gewichte nicht auf 1 normiert sind. Bei deiner angegebenen Gewichtung ist die Summe der Gewichte immer eins. Bei der obigen Formel verändert sich die Summe. Es wird also nicht nur die Größe a und b relativ zueinander gewichtet sondern auch ihr Wert selbst auch (schwierig zu erklären, aber ich versuchs mal mit nem Beispiel, ist der Abstand von a=0,1 und von b=0,5 sind nach deiner Formel die Gewichte ca. 0,1667 und 0,833, liegen die Punkte bei a=1 und b=5, ergeben sich die gleichen Gewichte. Mit der Gewichtung aus obiger Formel ergibt sich 8,33 und 0,33, für a=0,1 und b=0,5 ergibt sich jedoch 0,833 und 0,033).
Wenn ich jetzt eine Ordnung höher möchte wirds noch komplizierter mit der Gewichtung. Da erigbt sich bei der Herleitung das obige Problem.
Vielleicht lässt sich aber was mit deinem Hinweis "... dass du für [mm] x^3 [/mm] bei 0 die Steigung 0 rauskriegst. und sie die quadrat. fkt schon richtig liefern ..." was angfangen.
Was mich wundert ist, dass es so schwierig ist in der Richtung infos zu finden. Ich habe jetzt schon einige Bücher durch und es wird sich immer auf konstante Abstände beschränkt.
Falls jemand noch nen guten Tip hat wär ich ihm sehr dankbar.
Gruß
Johann.S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 30.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man irgendwie mittelt. muss die Summe der Gewichte IMMER eins sein, (sonst kannst du nicht mal ne lineare oder konstante fkt exakt berechnen).
sind sie ja bei deiner Formel auch. ich hatte nur übersehen, dass du bei der einen sehnensteigung die neative hattest, damit stimmen meine fFormeln mit deiner überein.
als nachstes willst du mit 4 stützstellen ausser x selbst arbeiten? also mit x-a,x-b.x+c und x+d?
dann musst du wieder die 4 einzelnen Steigungen geeignet mitteln, so dass sowohl lineare, quadr- wie kubische Polynome exakt integriert werden. , lineare werden richtig, wenn die Summe der Gewichte 1 ist, quadratische wie gehabt, dann kannst du in gedanken von deinem Polynom 3-ten Grades eines zweiten grades abziehen, und musst nur noch die Gewichte so wählen, dass für [mm] x^3 [/mm] bei 0 0 rauskommt.
Was du mit den anderen Werten meinst ist mir schleierhaft.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Johann.S |
Hi Leduart,
ich hatte dich in der Antwort zuvor missverstanden, jetzt ist es aber klar.
Ich habe die Gewichte als Gewichte auf die Differenzen der Funktionswerte (Vorfaktoren in meiner Gleichung) verstanden. Wenn man die Sekanten, wie du auch geschrieben hattest gewichtet mittelt, muss natürlich die Summe der Gewichte 1 sein und der Rest ist dann auch klar.
Vielen Dank für die Antwort.
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