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| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit und berechnen Sie die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten:
a) y=|x|
b) y= [mm] \wurzel{x} [/mm] |
Einen wunderschönen Sonntag an alle im matheraum, ich habe mir überlegt bei
a)
1. Fall: [mm] x\ge0, [/mm] dann y=x
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{x+h-x}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}=1 [/mm] also f'(x)=1
2. Fall: x<0, dann y=-x
jetzt habe ich als Grenzwert -1 erhalten, also f'(x)=-1
b)
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}
[/mm]
hier finde ich leider keinen Ansatz, kann mir bitte jemand einen Hinweis geben, Danke Zwinkerlippe
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Hallo Zwinkerlippe,
erweitere in (b) den Bruch so, dass du die 3.binomische Formel im Zähler bekommst und dort die Wurzeln weghauen kannst.
LG
schachuzipus
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Danke, mache ich es,
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}*\bruch{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{x+h-x}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x})}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x})}
[/mm]
jetzt kann ich h kürzen, für h gegen Null steht dann [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] somit habe ich die 1. Ableitung,
eigentlich ist es jetzt nicht schwer, aber wie kommt man immer auf die Idee des Ansatzes, hier z.B. 3. Binomische Formel, ich denke ich muß genügend Aufgaben rechnen Zwinkerlippe
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Hi,
> Danke, mache ich es,
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x+h}-\wurzel{x}}{h}*\bruch{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{x+h-x}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x})}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x})}[/mm]
>
> jetzt kann ich h kürzen, für h gegen Null steht dann
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
somit habe ich die 1. Ableitung,
>
> eigentlich ist es jetzt nicht schwer, aber wie kommt man
> immer auf die Idee des Ansatzes, hier z.B. 3. Binomische
> Formel, ich denke ich muß genügend Aufgaben rechnen
> Zwinkerlippe
Jo, das ist ein Großteil Erfahrungssache, wenn du es ein paar Mal gesehen hast, vergisst du's nie wieder 
Das ist halt son Standardtrick, um Wurzeln wegzuhauen, es lohnt sich also, das immer mal so zu versuchen, oft klappt's...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 So 08.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Zu a): f ist bei 0 nicht diffbar. So wie du die Funktion analysierst sieht es aus als existiere f'(0).
Gruß,
dormant
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Hallo dormat ich habe mir die Betragsfunktion gezeichnet, sieht V-förmig aus, warum ist die Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar und wie kann ich das nachweisen? Zwinkerlippe
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Hi,
schau dir bzgl. [mm] x_0=0 [/mm] mal den rechtsseitigen und den linksseitigen GW des Differenzenquotienten an,
laufe also einmal von oben kommend, also von der positiven Achse auf Null zu und einmal von unten, also von der negativen Achse.
Betrachte also [mm] \lim\limits_{x\downarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] und [mm] \lim\limits_{x\uparrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] mit [mm] x_0=0
[/mm]
Damit der GW existiert, müssen der linksseitige und der rechtsseitige GW übereinstimmen.
Das tun sie hier nicht....
Gruß
schachuzipus
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Ja danke schachuzipus, beim rechtsseitigen Grenzwert nehme ich meine Funktion vom 1. Fall y=x, der rechtsseitige Grenzwert ist 1, beim linksseitigen Grenzwert nehme ich meine Funktion vom 2. Fall y=-x, der linksseitige Grenzwert ist -1 Zwinkerlippe
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