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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 28.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei [mm] $z\in\IZ$. [/mm] Man Zeige:
[mm] $z\not\equiv{2}\mod{4}\quad\Longrightarrow\quad\exists\,a,b\in\IZ:\;z=a^2-b^2$ [/mm] |
Hallo an alle,
ich komme irgendwie bei dieser Aufgabe nicht so recht weiter. Man muss auf jeden Fall eine Fallunterscheidung machen und zwar:
1. Fall: [mm] $z\equiv{1}\mod{4}$ [/mm] bzw. [mm] $z\equiv{3}\mod{4}$
[/mm]
2. Fall: [mm] $z\equiv{0}\mod{4}$
[/mm]
Im ersten Fall wissen wir, dass $z$ ungerade sein muss, im zweiten gilt [mm] $4\mid [/mm] z$. Aber wie komme ich an diesen Stellen weiter?
Und wie kann ich angeben, wie man die Varieblen $a$ und $b$ genau wählen muss?
Ich danke euch.
Gruß
Denny
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Hallo Denny22,
> Sei [mm]z\in\IZ[/mm]. Man Zeige:
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> [mm]z\not\equiv{2}\mod{4}\quad\Longrightarrow\quad\exists\,a,b\in\IZ:\;z=a^2-b^2[/mm]
> Hallo an alle,
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> ich komme irgendwie bei dieser Aufgabe nicht so recht
> weiter. Man muss auf jeden Fall eine Fallunterscheidung
> machen und zwar:
>
> 1. Fall: [mm]z\equiv{1}\mod{4}[/mm] bzw. [mm]z\equiv{3}\mod{4}[/mm]
> 2. Fall: [mm]z\equiv{0}\mod{4}[/mm]
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> Im ersten Fall wissen wir, dass [mm]z[/mm] ungerade sein muss, im
> zweiten gilt [mm]4\mid z[/mm]. Aber wie komme ich an diesen Stellen
> weiter?
> Und wie kann ich angeben, wie man die Varieblen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm]
> genau wählen muss?
Für ganze Zahlen $m,n$ mit gleicher Parität gilt [mm] $mn=\left(\bruch{m+n}{2}\right)^2 -\left(\bruch{m-n}{2}\right)^2$.
[/mm]
Für Fall 1 also $z=z*1=...$; im 2. Fall gibts ein $k$ mit $z=4k=2k*2=...$.
Hoffe das hilft weiter  .
Mfg
zahlenspieler
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