Differenz der Funktionswerte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | f(x)=4x e^-x
h(x)= 4 (1-x)e^-x
Es existiert genau eine Stelle u (u größer als 0,5), an der die Differenz der Funktionswerte d(u)=f(u)-h(u) maximal ist. Berechnen Sie diese maximale Differenz. |
Differenz ist maximal, wenn f(u) max. Extremwert und h(u) minimalen Extremwert besitzt.
f´(x)=4 e^-x + 4x e^-x
f´´ (x)=8 e^-x
f´´´(x)= 8 e^-x
Stimmen die Ableitungen?
Nun Extremwert (max.) bestimmen, aber das u ist ja in f und h der gleiche Wert. Wie soll ich das berücksichtigen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 24.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> f(x)=4x e^-x
> h(x)= 4 (1-x)e^-x
>
> Es existiert genau eine Stelle u (u größer als 0,5), an der
> die Differenz der Funktionswerte d(u)=f(u)-h(u) maximal
> ist. Berechnen Sie diese maximale Differenz.
> Differenz ist maximal, wenn f(u) max. Extremwert und h(u)
> minimalen Extremwert besitzt.
das ist so nicht korrekt. vielmehr gilt:
d'(x)=0 und d''(x) <0 => relatives extremum
> f´(x)=4 [mm] e^{-x} [/mm] + 4x [mm] e^{-x}
[/mm]
f'(x) = 4 [mm] e^{-x} [/mm] + 4x [mm] e^{-x} [/mm] *(-1)
> f´´ (x)=8 [mm] e^{-x}
[/mm]
ich denke, wir betrachten besser die differenzfunktion d und deren ableitungen!
d(x) = f(x) - h(x)
d(x) = 4x [mm] e^{-x} [/mm] - 4 (1-x) [mm] e^{-x}
[/mm]
d(x) = 4x [mm] e^{-x} [/mm] -4 [mm] e^{-x} [/mm] + 4x [mm] e^{-x}
[/mm]
d(x) = 4 [mm] e^{-x} [/mm] (x -1 +x)
d(x) = 4 [mm] e^{-x} [/mm] (2x-1)
d ' (x) = 8 [mm] e^{-x} [/mm] -4 [mm] e^{-x} [/mm] (2x-1)
d ' (x) = 4 [mm] e^{-x} [/mm] ( 2 -2x +1)
d ' (x) = 4 [mm] e^{-x} [/mm] (-2x +3)
0 = 4 [mm] e^{-x} [/mm] (-2x +3)
1. Faktor kann nicht null werden, d.h. einzige lösung: x= [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
usw.
(wenn ich keinen fehler gemacht habe  )
gruß
wolfgang
|
|
|
|
